На практике часто происходит наложение колебаний друг на друга. Например, если на полу стоят два электродвигателя, работающие на разных оборотах, то пол совершает сложное колебание, которое получается вследствие наложения колебаний, вызванных работой каждого двигателя в отдельности. Результирующее колебание может оказаться довольно сложным по своему виду.

Рассмотрим сложение гармонических колебаний одинаковой частоты, которые происходят по одной прямой. Такие колебания можно складывать графически. Имея графики смещений x’ и х” в зависимости от времени t, график смещения результирующего колебания можно найти алгебраическим сложением смещений х’ и х” в каждый момент времени (на рис. 24.19, а показано такое сложение для двух точек). Таким образом, результирующее смещение х в каждой точке определяется соотношением:

х = х’ + х”.

Соединив плавной кривой концы полученных таким путем ординат х, найдем график результирующего колебания.

Как видно из рис. 24.19, а, при сложении гармонических колебаний одинаковой частоты получается гармоническое колебание той же частоты. Сложение таких колебаний можно выполнять проще, не прибегая к построению графиков.

Пусть складываемые колебания описываются уравнениями:

х’ = А’sin(ϕ’₀+2πvt), х’’ = А’’sin(ϕ’’₀+2πvt)

В теории колебаний доказывается, что амплитуду и начальную фазу результирующего колебания х = Аsin(ϕ₀+2πvt) можно найти, складывая векторно амплитуды А’ и А”:

A = A’ + А”.

Делается это следующим образом. Из произвольной точки O (рис. 24.19, б) проводят горизонтальную полупрямую, от которой отсчитываются начальные фазы. Из точки O проводят векторы А’ и A”, положения которых определяются начальными фазами ϕ’₀ и ϕ’’₀. Амплитуда результирующего колебания А является диагональю параллелограмма, построенного на векторах А’ и A”, а угол ϕ₀ определяет начальную фазу результирующего колебания. На рис. 24.19, б показана векторная диаграмма колебаний, графики которых изображены на рис. 24.19, а.

Заметим, что A’, A” и A — это подвижные радиусы складываемых колебаний и результирующего колебания, и векторами их называют условно, поскольку они не имеют отношения к понятию вектора как физической величины. На рис. 24.19, бони изображены в начальный момент времени. (Покажите, что при вращении этих векторов с угловой скоростью ω (против часовой стрелки) их проекции на вертикальную прямую определяют смещения соответствующих колебаний.)