При содействии тел импульс 1-го тела может отчасти либо стопроцентно передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют наружные силы со стороны других тел, такая система именуется замкнутой.
В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается неизменной при всех взаимодействиях тел этой системы меж собой. |
Этот базовый закон природы именуется законом сохранения импульса. Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона. Разглядим какие-либо два взаимодействующих тела, входящих в состав замкнутой системы. Силы взаимодействия меж этими телами обозначим через и По третьему закону Ньютона Если эти тела ведут взаимодействие в течение времени t, то импульсы сил взаимодействия схожи по модулю и ориентированы в обратные стороны: Применим к этим телам 2-ой закон Ньютона:
где и – импульсы тел в исходный момент времени, и – импульсы тел в конце взаимодействия. Из этих соотношений следует:
|
Это равенство значит, что в итоге взаимодействия 2-ух тел их суммарный импульс не поменялся. Рассматривая сейчас различные парные взаимодействия тел, входящих в замкнутую систему, можно прийти к выводу, что внутренние силы замкнутой системы не могут поменять ее суммарный импульс, другими словами векторную сумму импульсов всех тел, входящих в эту систему. Рис. 1.17.1 иллюстрирует закон сохранения импульса на примере нецентрального соударения 2-ух шаров различных масс, один из которых до соударения находился в состоянии покоя.
1 |
Набросок 1.17.1. Нецентральное соударение шаров различных масс: 1 – импульсы до соударения; 2 – импульсы после соударения; 3 – диаграмма импульсов. |
Изображенные на рис. 1.17.1 вектора импульсов шаров до и после соударения можно спроектировать на координатные оси OX и OY. Закон сохранения импульса производится и для проекций векторов на каждую ось. А именно, из диаграммы импульсов (рис. 1.17.1) следует, что проекции векторов и импульсов обоих шаров после соударения на ось OY должны быть схожи по модулю и иметь различные знаки, чтоб их сумма равнялась нулю. Закон сохранения импульса в почти всех случаях позволяет отыскивать скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неопознаны. Примером может служить реактивное движение. При стрельбе из орудия появляется отдача – снаряд движется вперед, а орудие – откатывается вспять. Снаряд и орудие – два взаимодействующих тела. Скорость, которую приобретает орудие при отдаче, зависит только от скорости снаряда и дела масс (рис. 1.17.2). Если скорости орудия и снаряда обозначить через и а их массы через M и m, то на основании закона сохранения импульса можно записать в проекциях на ось OX
2 |
Набросок 1.17.2. Отдача при выстреле из орудия. |
На принципе отдачи основано реактивное движение. В ракете при сгорании горючего газы, нагретые до высочайшей температуры, выбрасываются из сопла с большой скоростью относительно ракеты. Обозначим массу выброшенных газов через m, а массу ракеты после истечения газов через M. Тогда для замкнутой системы «ракета + газы» можно записать на основании закона сохранения импульса (по аналогии с задачей о выстреле из орудия):
где V – скорость ракеты после истечения газов. Тут предполагалось, что исходная скорость ракеты равнялась нулю. Приобретенная формула для скорости ракеты справедлива только при условии, что вся масса спаленного горючего выбрасывается из ракеты сразу. По сути истечение происходит равномерно в течение всего времени ускоренного движения ракеты. Любая следующая порция газа выбрасывается из ракеты, которая уже заполучила некую скорость. Для получения четкой формулы процесс истечения газа из сопла ракеты необходимо разглядеть более детально. Пусть ракета в момент времени t имеет массу M и движется со скоростью (рис. 1.17.3 (1)). В течение малого промежутка времени Δt из ракеты будет выброшена некая порция газа с относительной скоростью Ракета в момент t + Δt будет иметь скорость а ее масса станет равной M + ΔM, где ΔM < 0 (рис. 1.17.3 (2)). Масса выброшенных газов будет, разумеется, равна –ΔM > 0. Скорость газов в инерциальной системе OX будет равна Применим закон сохранения импульса. В момент времени t + Δt импульс ракеты равен а импульс испущенных газов равен В момент времени t импульс всей системы был равен Предполагая систему «ракета + газы» замкнутой, можно записать:
Величиной можно пренебречь, потому что |ΔM| << M. Разделив обе части последнего соотношения на Δt и перейдя к лимиту при Δt → 0, получим
3 |
Набросок 1.17.3. Ракета, передвигающаяся в свободном пространстве (без гравитации). 1 – в момент времени t. Масса ракеты M, ее скорость 2 – Ракета в момент времени t + Δt. Масса ракеты M + ΔM, где ΔM < 0, ее скорость масса выброшенных газов –ΔM > 0, относительная скорость газов скорость газов в инерциальной системе |
Величина есть расход горючего в единицу времени. Величина именуется реактивной силой тяги Реактивная сила тяги действует на ракету со стороны истекающих газов, она ориентирована в сторону, обратную относительной скорости. Соотношение
выражает 2-ой закон Ньютона для тела переменной массы. Если газы выбрасываются из сопла ракеты строго вспять (рис. 1.17.3), то в скалярной форме это соотношение воспринимает вид:
Ma = μu, |
где u – модуль относительной скорости. При помощи математической операции интегрирования из этого соотношения можно получить формулу для конечной скорости υ ракеты:
|
где – отношение исходной и конечной масс ракеты. Эта формула именуется формулой Циолковского. Из нее следует, что конечная скорость ракеты может превосходить относительную скорость истечения газов. Как следует, ракета может быть разогнана до огромных скоростей, нужных для галлактических полетов. Но это может быть достигнуто только методом расхода значимой массы горючего, составляющей огромную долю начальной массы ракеты. К примеру, для заслуги первой галлактической скорости υ = υ1 = 7,9·103 м/с при u = 3·103 м/с (скорости истечения газов при сгорании горючего бывают порядка 2–4 км/с) стартовая масса одноступенчатой ракеты должна приблизительно в 14 раз превосходить конечную массу. Для заслуги конечной скорости υ = 4u отношение должно быть равно 50. Существенное понижение стартовой массы ракеты может быть достигнуто при использовании многоступенчатых ракет, когда ступени ракеты отделяются по мере выгорания горючего. Из процесса следующего разгона ракеты исключаются массы контейнеров, в каких находилось горючее, отработавшие движки, системы управления и т. д. Конкретно по пути сотворения эконом многоступенчатых ракет развивается современное ракетостроение.