Теорема Гаусса

Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют стопроцентно обрисовать электростатическое поле данной системы зарядов в вакууме. Но, характеристики электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда. Введем новейшую физическую величину, характеризующую электронное поле – поток Φ вектора напряженности электронного поля. Понятие потока вектора  Аксиома Гаусса
аналогично понятию потока вектора скорости  Аксиома Гаусса
при течении несжимаемой воды. Пусть в пространстве, где сотворено электронное поле, размещена некая довольно малая площадка ΔS. Произведение модуля вектора  Аксиома Гаусса
на площадь ΔS и на косинус угла α меж вектором  Аксиома Гаусса
и нормалью  Аксиома Гаусса
к площадке именуется простым потоком вектора напряженности через площадку ΔS (рис. 4.3.1):

 

ΔΦ = EΔS cos α = EnΔS,

где  Аксиома Гаусса
– модуль обычной составляющей поля  Аксиома Гаусса
 

К определению простого потока ??. 1
Набросок 4.3.1. К определению простого потока ΔΦ.

Разглядим сейчас некую произвольную замкнутую поверхность S. Если разбить эту поверхность на малые площадки ΔSi, найти простые потоки  Аксиома Гаусса
поля  Аксиома Гаусса
через эти малые площадки, а потом их просуммировать, то в итоге мы получим поток Φ вектора  Аксиома Гаусса
через замкнутую поверхность S (рис. 4.3.2):

 Аксиома Гаусса

  В случае замкнутой поверхности всегда выбирается наружняя нормаль.

Вычисление потока Ф 2
Набросок 4.3.2. Вычисление потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S.

Аксиома Гаусса утверждает: Поток вектора напряженности электростатического поля  Аксиома Гаусса
через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных снутри этой поверхности, деленной на электронную постоянную ε0.

 Аксиома Гаусса

  Для подтверждения разглядим поначалу сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q. Электронное поле в хоть какой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю

 Аксиома Гаусса

где R – радиус сферы. Поток Φ через сферическую поверхность будет равен произведению E на площадь сферы  Аксиома Гаусса
Как следует,  Аксиома Гаусса
  Окружим сейчас точечный заряд случайной замкнутой поверхностью S и разглядим вспомогательную сферу радиуса R0 (рис. 4.3.3).

Поток электронного поля 3
Набросок 4.3.3. Поток электронного поля точечного заряда через произвольную поверхность S, окружающую заряд.

Разглядим конус с малым телесным углом ΔΩ при верхушке. Этот конус выделит на сфере малую площадку ΔS0, а на поверхности S – площадку ΔS. Простые потоки ΔΦ0 и ΔΦ через эти площадки схожи. Вправду,

ΔΦ0 = E0ΔS0,   ΔΦ = EΔS cos α = EΔS ‘.

  Тут ΔS ‘ = ΔS cos α – площадка, выделяемая конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса r. Потому что  Аксиома Гаусса
а  Аксиома Гаусса
как следует  Аксиома Гаусса
Отсюда следует, что полный поток электронного поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен сгустку Φ0 через поверхность вспомогательной сферы:

 Аксиома Гаусса

Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность S не обхватывает точечного заряда q, то поток Φ = 0. Таковой случай изображен на рис. 4.3.2. Все силовые полосы электронного поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Снутри поверхности S зарядов нет, потому в этой области силовые полосы не обрываются и не зарождаются.  Обобщение аксиомы Гаусса на случай случайного рассредотачивания зарядов вытекает из принципа суперпозиции. Поле хоть какого рассредотачивания зарядов можно представить как векторную сумму электронных полей  Аксиома Гаусса
точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S будет складываться из потоков Φi электронных полей отдельных зарядов. Если заряд qi оказался снутри поверхности S, то он дает вклад в поток, равный  Аксиома Гаусса
если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электронного поля в поток будет равен нулю. Таким макаром, аксиома Гаусса подтверждена. Аксиома Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, находящееся в этой аксиоме, за первоначальную теорему, то ее следствием окажется закон Кулона. Потому аксиому Гаусса время от времени именуют другой формулировкой закона Кулона.

Используя аксиому Гаусса, можно в ряде всевозможных случаев просто вычислить напряженность электронного поля вокруг заряженного тела, если данное рассредотачивание зарядов обладает какой-нибудь симметрией и общую структуру поля можно заблаговременно угадать. Примером может служить задачка о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинноватого цилиндра радиуса R. Эта задачка имеет осевую симметрию. Из суждений симметрии, электронное поле должно быть ориентировано по радиусу. Потому для внедрения аксиомы Гаусса целенаправлено избрать замкнутую поверхность S в виде соосного цилиндра некого радиуса r и длины l, закрытого с обоих торцов (рис. 4.3.4).

Вычисление поля однородно 4
Набросок 4.3.4. Вычисление поля однородно заряженного цилиндра. OO’ – ось симметрии.

При r ≥ R весь поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна 2πrl, потому что поток через оба основания равен нулю. Применение аксиомы Гаусса дает:

 Аксиома Гаусса

где τ – заряд единицы длины цилиндра. Отсюда

 Аксиома Гаусса

  Этот итог не находится в зависимости от радиуса R заряженного цилиндра, потому он применим и к полю длинноватой однородно заряженной нити. Для определения напряженности поля снутри заряженного цилиндра необходимо выстроить замкнутую поверхность для варианта r < R. В силу симметрии задачки поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в данном случае равен Φ = E2πrl. Согласно аксиоме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся снутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электронное поле снутри однородно заряженного длинноватого полого цилиндра равно нулю.

Аналогичным образом можно применить аксиому Гаусса для определения электронного поля в ряде других случаев, когда рассредотачивание зарядов обладает какой-нибудь симметрией, к примеру, симметрией относительно центра, плоскости либо оси. В каждом из таких случаев необходимо выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. К примеру, в случае центральной симметрии гауссову поверхность комфортно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность необходимо выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере). Если рассредотачивание зарядов не обладает какой-нибудь симметрией и общую структуру электронного поля угадать нереально, применение аксиомы Гаусса не может упростить задачку определения напряженности поля. Разглядим очередной пример симметричного рассредотачивания зарядов – определение поля умеренно заряженной плоскости (рис. 4.3.5).

Поле умеренно заряженной плоскости 5
Набросок 4.3.5. Поле умеренно заряженной плоскости. σ – поверхностная плотность заряда. S – замкнутая гауссова поверхность.

В данном случае гауссову поверхность S целенаправлено избрать в виде цилиндра некой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра ориентирована перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы размещены на схожем расстоянии от нее. В силу симметрии поле умеренно заряженной плоскости должно быть всюду ориентировано по нормали. Применение аксиомы Гаусса дает:

 Аксиома Гаусса

где σ – поверхностная плотность заряда, другими словами заряд, приходящийся на единицу площади.  Приобретенное выражение для электронного поля однородно заряженной плоскости применимо и в случае плоских заряженных площадок конечного размера. В данном случае расстояние от точки, в какой определяется напряженность поля, до заряженной площадки должно быть существенно меньше размеров площадки.