Пусть жесткий стержень лежит в системе отсчета K’, передвигающейся со скоростью υ относительно системы отсчета K (рис. 7.3.1). Стержень нацелен параллельно оси x’. Его длина, измеренная при помощи эталонной линейки в системе K’, равна l0. Ее именуют своей длиной. Какой будет длина этого стержня, измеренная наблюдателем в системе K? Для ответа на этот вопрос нужно дать определения процедуры измерения длины передвигающегося стержня. Под длиной l стержня в системе K, относительно которой стержень движется, понимают расстояние меж координатами концов стержня, зафиксированными сразу по часам этой системы. Если известна скорость системы K’ относительно K, то измерение длины передвигающегося стержня можно свести к измерению времени: длина l передвигающегося со скоростью υ стержня равна произведению υτ0, где τ0 – интервал времени по часам в системе K меж прохождением начала стержня и его конца мимо какой-либо недвижной точки (к примеру, точки A) в системе K (рис. 7.3.1). Так как в системе K оба действия (прохождение начала и конца стержня мимо фиксированной точки A) происходят в одной точке, то просвет времени τ0 в системе K является своим временем. Итак, длина l передвигающегося стержня равна l = υτ0.

1

Набросок 7.3.1. Измерение длины передвигающегося стержня.

Найдем сейчас связь меж l и l0. Исходя из убеждений наблюдающего в системе K’, точка A, принадлежащая системе K, движется повдоль недвижного стержня влево со скоростью υ, потому можно записать

где τ есть просвет времени меж моментами прохождения точки A мимо концов стержня, измеренный по синхронизованным часам в K’. Используя связь меж промежутками времени τ и  , найдем

  Таким макаром, длина стержня находится в зависимости от системы отсчета, в какой она измеряется, другими словами является относительной величиной. Длина стержня оказывается большей в той системе отсчета, в какой стержень лежит. Передвигающиеся относительно наблюдающего тела сокращаются в направлении собственного движения. Этот релятивистский эффект носит заглавие лоренцева сокращения длины. Расстояние не является абсолютной величиной, оно находится в зависимости от скорости движения тела относительно данной системы отсчета. Сокращение длины не связанно с какими-либо процессами, происходящими в самих телах. Лоренцево сокращение охарактеризовывает изменение размера передвигающегося тела в направлении его движения.

Если стержень на рис. 7.3.1 расположить перпендикулярно оси x, повдоль которой движется система K’, то длина стержня оказывается схожей для наблюдателей в обеих системах K и K’. Это утверждение находится в согласовании с постулатом о равноправии всех инерциальных систем. Для подтверждения можно разглядеть последующий мысленный опыт. Расположим в системах K и K’ повдоль осей y и y’ два жестких стержня. Стержни имеют однообразные собственные длины l, измеренные недвижными по отношению к каждому из стержней наблюдателями в K и K’, и один из концов каждого стержня совпадает с началом координат O либо O’. В некий момент стержни оказываются рядом и представляется возможность сопоставить их конкретно: конец каждого стержня в состоянии сделать метку на другом стержне.

Если б эти метки не совпали с концами стержней, то какой-то из них оказался бы длиннее другого исходя из убеждений обеих систем отсчета. Это противоречило бы принципу относительности. Неизменность длины передвигающегося стержня, нацеленного перпендикулярно направлению движения, была применена в § 7.2 при анализе релятивистского замедления времени. Следует направить внимание, что при малых скоростях движения (υ << c) формулы 100 перебегают в традиционные соотношения: l ≈ l0 и τ ≈ τ0. Таким макаром, традиционные представления, лежащие в базе механики Ньютона и сформировавшиеся на базе многолетнего опыта наблюдения над неспешными движениями, в специальной теории относительности соответствуют предельному переходу при β = υ / c → 0. В этом проявляется принцип соответствия (см. § 7.1).