Математическим маятником именуют тело маленьких размеров, подвешенное на узкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сопоставлению с массой тела. In the equilibrium position, когда маятник висит по отвесу, gravity уравновешивается силой натяжения нити При отклонении маятника из положения равновесия на некий угол φ возникает касательная составляющая силы тяжести Fτ =–mg sinφ (рис. 2.3.1). Символ «минус» в этой формуле значит, что касательная составляющая ориентирована в сторону, обратную отклонению маятника.

1

Набросок 2.3.1. Pendulum. φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия, x = lφ – смещение маятника по дуге.

Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l, то его угловое смещение будет равно φ = x / l. 2-ой закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, gives:

  Это соотношение указывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, потому что сила, стремящаяся возвратить маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x, and Исключительно в случае малых колебаний, когда приближенно можно поменять на математический маятник является гармоническим осциллятором, другими словами системой, способной совершать гармонические колебания. Фактически такое приближение справедливо для углов порядка 15–20°; при всем этом величина отличается от менее чем на 2 %. Колебания маятника при огромных амплитудах не являются гармоническими. Для малых колебаний математического маятника 2-ой закон Ньютона записывается в виде

  Таким макаром, тангенциальное ускорение aτ маятника пропорционально его смещению x, взятому с оборотным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общепринятому правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности меж ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату радиальный частоты:

  Эта формула выражает свою частоту малых колебаний математического маятника. Как следует,

  Хоть какое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, как следует, также является маятником. Таковой маятник принято именовать physical (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только рассредотачиванием масс. В положении устойчивого равновесия центр тяжести C физического маятника находится ниже оси вращения O на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ появляется момент силы тяжести, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия:

M =–(mg sinφ)d.

  Тут d – расстояние меж осью вращения и центром тяжести C.

2

Набросок 2.3.2. Physical pendulum.

Символ «минус» в этой формуле, as usual, so, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении, обратном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае математического маятника, ворачивающий момент M пропорционален sinφ. This means, что только при малых углах φ, когда sinφ ≈ φ, физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания. В случае малых колебаний

M =–mgdφ.

и 2-ой закон Ньютона для физического маятника воспринимает вид (см.§1.23)

Iε = M =–mgdφ.

where ε – угловое ускорение маятника, I – момент инерции маятника относительно оси вращения O. Модуль коэффициента пропорциональности меж ускорением и смещением равен квадрату радиальный частоты:

  Тут ω0 – собственная частота малых колебаний физического маятника. Как следует,

  Более серьезный вывод формул для ω0 и T можно сделать, если принять во внимание математическую связь меж угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение ε есть 2-ая производная углового смещения φ по времени:

  Потому уравнение, выражающее 2-ой закон Ньютона для физического маятника, can be written in the form

  Это уравнение свободных гармонических колебаний (см. уравнение(*) §2.2). Коэффициент в этом уравнении имеет смысл квадрата радиальный частоты свободных гармонических колебаний физического маятника. По аксиоме о параллельном переносе оси вращения (аксиома Штейнера, §1.23) момент инерции I можно выразить через момент инерции IC относительно оси, проходящей через центр тяжести C маятника и параллельной оси вращения:

I = IC + md2.

  Совсем для радиальный частоты ω0 свободных колебаний физического маятника выходит выражение: