Reklama

Свободные колебания. Математический маятник

Математическим маятником именуют тело маленьких размеров, подвешенное на узкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сопоставлению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити При отклонении маятника из положения равновесия на некий угол φ возникает касательная составляющая силы тяжести Fτ = –mg sin φ (рис. 2.3.1). Символ «минус» в этой формуле значит, что касательная составляющая ориентирована в сторону, обратную отклонению маятника.

Математический маятник. 1
Набросок 2.3.1. Математический маятник. φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия, x = lφ – смещение маятника по дуге.

Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l, то его угловое смещение будет равно φ = x / l. 2-ой закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:

 Свободные колебания. Математический маятник

  Это соотношение указывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, потому что сила, стремящаяся возвратить маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x, а  Свободные колебания. Математический маятник
Исключительно в случае малых колебаний, когда приближенно  Свободные колебания. Математический маятник
можно поменять на  Свободные колебания. Математический маятник
математический маятник является гармоническим осциллятором, другими словами системой, способной совершать гармонические колебания. Фактически такое приближение справедливо для углов порядка 15–20°; при всем этом величина отличается от  Свободные колебания. Математический маятник
менее чем на 2 %. Колебания маятника при огромных амплитудах не являются гармоническими. Для малых колебаний математического маятника 2-ой закон Ньютона записывается в виде

  Таким макаром, тангенциальное ускорение aτ маятника пропорционально его смещению x, взятому с оборотным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общепринятому правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности меж ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату радиальный частоты:

  Эта формула выражает свою частоту малых колебаний математического маятника. Как следует,

 Свободные колебания. Математический маятник

  Хоть какое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, как следует, также является маятником. Таковой маятник принято именовать физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только рассредотачиванием масс. В положении устойчивого равновесия центр тяжести C физического маятника находится ниже оси вращения O на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ появляется момент силы тяжести, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия:

M = –(mg sin φ)d.

  Тут d – расстояние меж осью вращения и центром тяжести C.

Физический маятник. 2
Набросок 2.3.2. Физический маятник.

Символ «минус» в этой формуле, как обычно, значит, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении, обратном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае математического маятника, ворачивающий момент M пропорционален sin φ. Это значит, что только при малых углах φ, когда sin φ ≈ φ, физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания. В случае малых колебаний

M = –mgdφ.

и 2-ой закон Ньютона для физического маятника воспринимает вид (см. §1.23)

Iε = M = –mgdφ.

где ε – угловое ускорение маятника, I – момент инерции маятника относительно оси вращения O. Модуль коэффициента пропорциональности меж ускорением и смещением равен квадрату радиальный частоты:

 Свободные колебания. Математический маятник

  Тут ω0 – собственная частота малых колебаний физического маятника. Как следует,

  Более серьезный вывод формул для ω0 и T можно сделать, если принять во внимание математическую связь меж угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение ε есть 2-ая производная углового смещения φ по времени:

  Потому уравнение, выражающее 2-ой закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде

  Это уравнение свободных гармонических колебаний (см. уравнение (*) §2.2). Коэффициент в этом уравнении имеет смысл квадрата радиальный частоты свободных гармонических колебаний физического маятника. По аксиоме о параллельном переносе оси вращения (аксиома Штейнера, §1.23) момент инерции I можно выразить через момент инерции IC относительно оси, проходящей через центр тяжести C маятника и параллельной оси вращения:

I = IC + md2.

  Совсем для радиальный частоты ω0 свободных колебаний физического маятника выходит выражение:

 Свободные колебания. Математический маятник

 

Reklama