При проведении реакции при постоянной температуре (изотермический процесс) степень превращения реагентов зависит от их концентрации и не зависит от температуры, поэтому уравнение материального баланса можно проинтегрировать и получить зависимость степени превращения от времени.

При неизотермическом проведении процесса (адиабатическом или программно регулируемом) приходится решать совместно уравнения материального и теплового баланса с учетом зависимости скорости реакции от температуры и, при необходимости, процесса теплопередачи.

Для создания приблизительно изотермических условий в реакторе можно применить несколько способов теплообмена:

- теплообмен при постоянной скорости теплопередачи; когда реактор обогревается топочными газами или пламенем, коэффициент теплопередачи изменяется мало, а температура настолько высока, что изменение температуры реагентов практически не влияет на температурный напор;

- теплообмен при постоянном коэффициенте теплопередачи; например, в аппаратах с мешалкой коэффициент теплопередачи зависит в основном от скорости перемешивания, которую можно держать постоянной, и скорость теплопередачи будет определяться изменением температуры реагентов;

- автоматическое регулирование скорости теплопередачи путем регулирования расхода теплоносителя или изменения температуры его фазового перехода, например за счет давления.

Последний способ, в принципе, является самым лучшим, но не всегда экономически целесообразным.

Теплообмен в реакторах смешения. Рассмотрим химическую реакцию

A+B=R+ΔH_r,

где ΔH_r – энтальпия реакции, Дж/моль.

Запишем уравнение теплового баланса, относя мольные энтальпии к некоторой температуре Т_С, например 0 ºС, являющейся уровнем отсчета.

Начальная температура реагентов Т₀, конечная – Т:

Q – количество отводимого или подводимого тепла, Дж.

Если отсутствуют фазовые превращения, то энтальпии компонентов можно выразить через теплоемкости:

Если полагать, что теплоемкости не зависят от температуры в исследуемом интервале температур, а температура Т₀ является уровнем отсчета, то уравнение упростится:

Зная состав исходной смеси, можно связать степень превращения и температуру. Для стехиометрической смеси, разделив последнее уравнение на N_A0, получим:

После преобразований

где С’ и С’‘ – сумма теплоемкостей реагентов и продуктов реакции соответственно. Но, так как

то

Здесь у энтальпии реакции и теплоты термодинамическое правило знаков,
т. е. тепло, подводимое к системе, считается положительным.

Для адиабатических условий Q=0, поэтому

Пример 9.4. Для реакции первого порядка А+В=R, протекающей в адиабатических условиях, известны следующие данные: Т₀=28 ºС; N_A0=N_B0=1 кмоль; N_R0=0; С_А=С_В=125 Дж/(моль·К); C_R=167 Дж/(моль·К);
H= -11600 Дж/моль. Константа скорости реакции в узком интервале температур зависит линейно от температуры

Определить степень превращения реагентов и время ее достижения, если температура в реакторе повысилась за счет реакции на 28 К?

Решение: Полагая отсутствие фазовых превращений в процессе, составим уравнение теплового баланса

[(1-X_A)(125+125)+167X_A](T - 28)-11600X_A=0;

(250-83X_A)(T-28)=11600X_A;

T-28=28=11600X_A/(250-83X_A);

X_A=0,503.

Определим время реакции из баланса массы при условии реакции первого порядка

(Последний интеграл вычислен численным методом по формуле Симпсона.)

Составим тепловой баланс в дифференциальной форме, полагая, что за элементарное время dt скорость реакции r_A и скорость теплопередачи R определяются уравнениями

;

Теплоемкость и скорость реакции являются известными функциями температуры. Если скорость теплопередачи задана в функции от температуры, то последнее уравнение можно проинтегрировать. Для трех рассмотренных способов теплообмена связь между температурой и скоростью теплопередачи имеет вид:

- теплообмен при постоянной скорости теплопередачи

R=const;

- теплообмен при постоянном коэффициенте теплопередачи

R=KS(T_т-T), KS=const, T_т=const;

- автоматическое регулирование скорости теплопередачи

R=DH_r·r_A=KS(T_т-T), T=const.

Здесь: K – коэффициент теплопередачи, Вт/(м²*К);

S – поверхность теплопередачи, м²;

T_т – температура теплоносителя.

Пример 9.5. Для реакции первого порядка известны следующие данные: энтальпия реакции DH_r=11600Дж/моль; константа скорости реакции k=0,8 ч^-1; коэффициент теплопередачи К=51 Вт/(м²·К); начальная загрузка реагента N_A0=2270 моль. Определить поверхность теплообмена, необходимую для поддержания постоянной температуры t=49 ºС до конечной степени превращения X_A=70 %. Нагрев осуществляется паром, температуру которого Т_т можно регулировать в пределах от 110 до 177 ºС.

Решение: Скорость подвода тепла должна быть наибольшей в начале процесса, когда Х_А=0, а скорость реакции – наибольшая. Расчет будем производить, используя уравнение

DH_r·r_A=KS₁(T_т-T).

Откуда максимальная поверхность теплопередачи в этот момент выразится уравнением

При такой поверхности и конечной степени превращения Х_А=0.7 температура теплоносителя должна быть равна

Эту температуру не обеспечить паром заданных параметров. Степень превращения, отвечающая наиболее низкой заданной температуре теплоносителя 110 ºС, при поверхности теплопередачи S₁ составит

При температуре теплоносителя 110 ºС и степени превращения 0,7 имеем

При Х_А=0.524 и S₂=0.564 м² имеем

Таким образом, нагреватель должен состоять из двух параллельных змеевиков, один из которых с поверхностью S₁=0,564 м², а другой –
S₂=0,896-0,564=0,332 м². При снижении температуры пара до 110 ºС змеевик с поверхностью 0,332 м² следует отключить.

Кривые регулирования строятся по уравнениям

При Х_А£0.52 Т_Т=49+128(1-Х_А);

при Х_А>0.52 Т_Т=49+203(1-Х_А).

Рис. 9.2. К расчету теплообмена в реакторе вытеснения

Теплообмен в реакторах вытеснения. Если полагать отсутствие в реакционной зоне реактора идеального вытеснения радиальных градиентов температур, то можно составить три уравнения, одно из которых – баланс массы, второе – баланс тепла по реакционной массе и третье – баланс тепла по теплоносителю. Схема тепло- и массообмена в элементе реактора представлена на рис. 9.2.

Уравнение баланса массы

Уравнение баланса тепла в элементе реакционной зоны

Уравнение баланса тепла в элементе рубашки

Совместное решение системы из трех дифференциальных уравнений дает возможность определить распределение степеней превращения, температур реакционной смеси и теплоносителя по длине реактора идеального вытеснения.

Для адиабатического реактора идеального вытеснения получаем систему из двух дифференциальных уравнений

Пример 9.6. В гомогенном реакторе идеального вытеснения, представляющем собой трубу внутренним диаметром 50мм, протекает адиабатическая реакция второго порядка. Кинетические параметры реакции: энергия активации Е=58200 Дж/моль, k₀=2·10⁷ м³/(моль·ч). Начальная концентрация реагента 20 кмоль/м³, его мольный расход 60 кмоль/ч, теплоемкость реакционной смеси 125 Дж/(моль·К). Энтальпия реакции
DH_r=-10000 Дж/моль. Определить длину реактора при 90 %-ной степени превращения, если начальная температура реагентов 77 ºС.

Решение: Подставим исходные данные в систему дифференциальных уравнений материального и теплового баланса адиабатического реактора:

После преобразований получим:

Таблица 9.6.Результаты решения дифференциального уравнения

z, м	0,0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0	1,2	1,3
XA, %	0,00	12,94	30,31	51,50	70,54	82,22	88,32	90,21
T, K	350,0	360,4	372,2	391,2	406,4	415,8	420,7	422,2

Решая полученную систему численным методом, можем найти длину реактора. Например, при решении модифицированным методом Эйлера при шаге интегрирования 0.02 м получаем длину реактора 1,3 м (см.
табл. 9.6).