Преобразования Лоренца

Традиционные преобразования Галилея несовместимы с постулатами 100 и, как следует, должны быть изменены другими преобразованиями. Эти новые преобразования должны установить связь меж координатами (x, y, z) и моментом времени t действия, наблюдаемого в системе отсчета K, и координатами (x’, y’, z’) и моментом времени t’ этого же действия, наблюдаемого в системе отсчета K’. Кинематические формулы преобразования координат и времени в 100 именуются преобразованиями Лоренца. Они были предложены в 1904 году еще до возникновения 100 как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики. Для варианта, когда система K’ движется относительно K со скоростью υ повдоль оси x, преобразования Лоренца имеют вид:

K’ → K                K → K’
 Преобразования Лоренца
β = υ / c.

  Из преобразований Лоренца вытекает целый ряд следствий. А именно, из их следует релятивистский эффект замедления времени и лоренцево сокращение длины. Пусть, к примеру, в некой точке x’ системы K’ происходит процесс продолжительностью τ0 = t’2 – t’1 (собственное время), где t’1 и t’2 – показания часов в K’ сначала и конце процесса. Продолжительность τ этого процесса в системе K будет равна

 Преобразования Лоренца

  Аналогичным образом, можно показать, что из преобразований Лоренца вытекает релятивистское сокращение длины. Одним из важных следствий из преобразований Лоренца является вывод об относительности одновременности. Пусть, к примеру, в 2-ух различных точках системы отсчета K’ (x’1 ≠ x’2) сразу исходя из убеждений наблюдающего в K’ (t’1 = t’2 = t’) происходят два действия. Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдающий в системе K будет иметь

 Преобразования Лоренца
 Преобразования Лоренца

  Как следует, в системе K эти действия, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются неодновременными. Более того, символ разности t2 – t1 определяется знаком выражения υ(x’2 – x’1), потому в одних системах отсчета 1-ое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, напротив, 2-ое событие предшествует первому. Этот вывод 100 не относится к событиям, связанным причинно-следственными связями, когда одно из событий является физическим следствием другого. Можно показать, что в 100 не нарушается принцип причинности, и порядок следования причинно-следственных событий схож во всех инерциальных системах отсчета.

 Относительность одновременности пространственно-разобщенных событий можно проиллюстрировать на последующем примере. Пусть в системе отсчета K’ повдоль оси x’ бездвижно размещен длиннющий жесткий стержень. В центре стержня находится импульсная лампа B, а на его концах установлены двое синхронизованных часов (рис. 7.4.1(a)), система K’ движется повдоль оси x системы K со скоростью υ. В некий момент времени лампа отправляет недлинные световые импульсы в направлении концов стержня.

В силу равноправия обоих направлений свет в системе K’ дойдет до концов стержня сразу, и часы, закрепленные на концах стержня, покажут одно и то же время t’. Относительно системы K концы стержня движутся со скоростью υ так, что один конец движется навстречу световому импульсу, а другой конец свету приходится догонять. Потому что скорости распространения световых импульсов в обоих направлениях схожи и равны c, то, исходя из убеждений наблюдающего в системе K, свет ранее дойдет до левого конца стержня, чем до правого (рис. 7.4.1(b)).

Относительность одновременности. 1
Набросок 7.4.1. Относительность одновременности. Световой импульс добивается концов твердого стержня сразу в системе отсчета K’ (a) и не сразу в системе отсчета K (b).

Преобразования Лоренца выражают относительный нрав промежутков времени и расстояний. Но, в 100 вместе с утверждением относительного нрава места и времени важную роль играет установление инвариантных физических величин, которые не меняются при переходе от одной системе отсчета к другой. Одной из таких величин является скорость света c в вакууме, которая в 100 приобретает абсолютный нрав. Другой принципиальной инвариантной величиной, отражающей абсолютный нрав пространственно-временных связей, является интервал меж событиями. Пространственно-временной интервал определяется в 100 последующим соотношением:

 Преобразования Лоренца

где t12 – просвет времени меж событиями в некой системе отсчета, а l12 – расстояние меж точками, в каких происходят рассматриваемые действия, в той же системе отсчета. В личном случае, когда одно из событий происходит сначала координат (x1 = y1 = z1 = 0) системы отсчета в момент времени t1 = 0, а 2-ое – в точке с координатами x, y, z в момент времени t, пространственно-временной интервал меж этими событиями записывается в виде

 Преобразования Лоренца

  При помощи преобразований Лоренца можно обосновать, что пространственно-временной интервал меж 2-мя событиями не меняется при переходе из одной инерциальной системы в другую. Инвариантность интервала значит, что, невзирая на относительность расстояний и промежутков времени, протекание физических процессов носит беспристрастный нрав и не находится в зависимости от системы отсчета. Если одно из событий представляет собой вспышку света сначала координат системы отсчета при t = 0, а 2-ое – приход светового фронта в точку с координатами x, y, z в момент времени t (рис. 7.1.3), то

x2 + y2 + z2 = c2t2,

и, как следует, интервал для этой пары событий s = 0. В другой системе отсчета координаты и время второго действия будут другими, да и в этой системе пространственно-временной интервал s’ окажется равным нулю, потому что

 Преобразования Лоренца

  Для всех 2-ух событий, связанных меж собой световым сигналом, интервал равен нулю. Из преобразований Лоренца для координат и времени можно получить релятивистский закон сложения скоростей. Пусть, к примеру, в системе отсчета K’ повдоль оси x’ движется частичка со скоростью  Преобразования Лоренца
Составляющие скорости частички u’x и u’z равны нулю. Скорость этой частички в системе K будет равна  Преобразования Лоренца
При помощи операции дифференцирования из формул преобразований Лоренца можно отыскать:

 Преобразования Лоренца

  Эти соотношения выражают релятивистский закон сложения скоростей для варианта, когда частичка движется параллельно относительной скорости  Преобразования Лоренца
систем отсчета K и K’. При υ << c релятивистские формулы перебегают в формулы традиционной механики:

ux = u’x + υ,  uy = 0,  uz = 0.

  Если в системе K’ повдоль оси x’ распространяется со скоростью u’x = c световой импульс, то для скорости ux импульса в системе K получим

 Преобразования Лоренца

  Таким макаром, в системе отсчета K световой импульс также распространяется повдоль оси x со скоростью c, что согласуется с постулатом об инвариантности скорости света.