Механические волны

Если в каком-нибудь месте жесткой, водянистой либо газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде именуется волной. Механические волны бывают различных видов. Если при распространении волны частички среды испытывают смещение в направлении, перпендикулярном направлению распространения, такая волна именуется поперечной.

Примером волны такового рода могут служить волны, бегущие по натянутому резиновому жгуту (рис. 2.6.1) либо по струне. Если смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны, такая волна именуется продольной. Волны в упругом стержне (рис. 2.6.2) либо звуковые волны в газе являются примерами таких волн. Волны на поверхности воды имеют как поперечную, так и продольную составляющие. Как в поперечных, так и в продольных волнах не происходит переноса вещества в направлении распространения волны. В процессе распространения частички среды только совершают колебания около положений равновесия. Но волны переносят энергию колебаний от одной точки среды к другой.

Распространение  волнового импульса 1
Набросок 2.6.1. Распространение поперечного волнового импульса по натянутому резиновому жгуту.
2
Набросок 2.6.2. Распространение продольного волнового импульса по упругому стержню.

Соответствующей особенностью механических волн будет то, что они распространяются в вещественных средах (жестких, водянистых либо газообразных). Есть волны, которые способны распространяться и в пустоте (к примеру, световые волны). Для механических волн непременно нужна среда, владеющая способностью припасать кинетическую и потенциальную энергию. Как следует, среда должна владеть инертными и упругими качествами. В реальных средах эти характеристики распределены по всему объему. Так, к примеру, хоть какой малый элемент твердого тела обладает массой и упругостью. В простейшей одномерной модели жесткое тело можно представить как совокупа шариков и пружинок (рис. 2.6.3).

Простая одномерная модель 3
Набросок 2.6.3. Простая одномерная модель твердого тела.

В этой модели инертные и упругие характеристики разбиты. Шарики владеют массой m, а пружинки – жесткостью k. При помощи таковой обычный модели можно обрисовать распространение продольных и поперечных волн в жестком теле. В продольных волнах шарики испытывают смещения повдоль цепочки, а пружинки растягиваются либо сжимаются. Такая деформация именуется деформацией растяжения либо сжатия (см. §1.12). В жидкостях либо газах деформация такового рода сопровождается уплотнением либо разрежением.

Продольные механические волны могут распространяться в всех средах – жестких, водянистых и газообразных. Если в одномерной модели твердого тела один либо несколько шариков сдвинуть в направлении, перпендикулярном цепочке, то возникнет деформация сдвига. Деформированные при таком смещении пружины будут стремиться вернуть смещенные частички в положение равновесия. При всем этом на наиблежайшие несмещенные частички будут действовать упругие силы, стремящиеся отклонить их от положения равновесия. В итоге повдоль цепочки побежит поперечная волна. В жидкостях и газах упругая деформация сдвига не появляется.

Если один слой воды либо газа сдвинуть на некое расстояние относительно примыкающего слоя, то никаких касательных сил на границе меж слоями не возникает. Силы, действующие на границе воды и твердого тела, также силы меж примыкающими слоями воды всегда ориентированы по нормали к границе – это силы давления. То же относится к газообразной среде. Как следует, поперечные волны не могут существовать в водянистой либо газообразной средах.

Значимый энтузиазм для практики представляют обыкновенные гармонические либо синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой f и длиной волны λ. Синусоидальные волны распространяются в однородных средах с некой неизменной скоростью υ. Смещение y(x, t) частиц среды из положения равновесия в синусоидальной волне находится в зависимости от координаты x на оси OX, повдоль которой распространяется волна, и от времени t по закону:

 Механические волны

где  Механические волны
– так называемое волновое число, ω = 2πf – радиальная частота.  На рис. 2.6.4 изображены «мгновенные фото» поперечной волны в два момента времени: t и t + Δt. За время Δt волна переместилась повдоль оси OX на расстояние υΔt. Волны, все точки которых передвигаются с одной и той же скоростью, принято именовать бегущими (в отличие от стоячих волн, см. дальше).

Мгновенные фото 4
Набросок 2.6.4. «Мгновенные фото» бегущей синусоидальной волны в момент времени t и t + Δt.

Длиной волны λ именуют расстояние меж 2-мя примыкающими точками на оси OX, колеблющимися в схожих фазах. Расстояние, равное длине волны λ, волна пробегает за период T, как следует, λ = υT, где υ – скорость распространения волны. Для хоть какой избранной точки на графике волнового процесса (к примеру, для точки A на рис. 2.6.4) выражение ωt – kx не меняется по величине. Со временем t меняется и координата x этой точки. Через просвет времени Δt точка A переместится по оси OX на некое расстояние Δx = υΔt. Как следует:

ωt – kx = ω(t + Δt) – k(x + Δx) = const  либо  ωΔt = kΔx.

  Отсюда следует:

 Механические волны

  Таким макаром, бегущая синусоидальная волна обладает двойной периодичностью – во времени и пространстве. Временной период равен периоду колебаний T частиц среды, пространственный период равен длине волны λ. Волновое число  Механические волны
является пространственным аналогом радиальный частоты  Механические волны
Обратим внимание на то, что уравнение

y(x, t) = A cos (ωt + kx)

обрисовывает синусоидальную волну, распространяющуюся в направлении, обратном направлению оси OX, со скоростью  Механические волны
  В бегущей синусоидальной волне любая частичка среды совершает гармонические колебания с некой частотой ω. Потому, как и в случае обычного колебательного процесса, средняя возможная энергия, запасенная в неком объеме среды, равна средней кинетической энергии в том же объеме. При распространении бегущей волны появляется поток энергии, пропорциональный скорости волны и квадрату ее амплитуды. Бегущие волны распространяются в средах с определенными скоростями, зависящими от типа волны, также от инертных и упругих параметров среды. Скорость поперечных волн в натянутой струне либо резиновом жгуте находится в зависимости от погонной массы μ (другими словами массы единицы длины) и силы натяжения T:

 Механические волны

  Скорость распространения продольных волн в бескрайней среде определяется плотностью среды ρ (другими словами массой единицы объема) и модулем всестороннего сжатия B, который равен коэффициенту пропорциональности меж конфигурацией давления Δp и относительным конфигурацией объема ΔV / V, взятому с оборотным знаком:

 Механические волны

  Выражение для скорости распространения продольных волн в бескрайних средах имеет вид

 Механические волны

  К примеру, при температуре 20 °С скорость распространения продольных волн в воде υ ≈ 1480 м/с, в разных сортах стали υ ≈ 5–6 км/с. При распространении продольных волн в упругих стержнях в формулу для скорости волн заместо модуля всестороннего сжатия B заходит модуль Юнга E (см. §1.12):

 Механические волны

  Для стали отличие E от B невелико, для других материалов оно может составлять 20–30 % и даже больше. Если механическая волна, распространяющаяся в среде, встречает на собственном пути какое-либо препятствие, то она может резко поменять нрав собственного поведения. К примеру, на границе раздела 2-ух сред с различными механическими качествами волна отчасти отражается, а отчасти просачивается во вторую среду. Волна, бегущая по резиновому жгуту либо струне отражается от бездвижно закрепленного конца; при всем этом возникает волна, бегущая во встречном направлении.

В струне, закрепленной на обоих концах, появляются сложные колебания, которые можно рассматривать как итог наложения (суперпозиции) 2-ух волн, распространяющихся в обратных направлениях и испытывающих отражения и переотражения на концах. Колебания струн, закрепленных на обоих концах, делают звуки всех струнных музыкальных инструментов. Очень схожее явление появляется при звучании духовых инструментов, в том числе органных труб. Если волны, бегущие по струне во встречных направлениях, имеют синусоидальную форму, то при определенных критериях они могут образовать стоячую волну. Пусть струна длины l закреплена так, что один из ее концов находится в точке x = 0, а другой – в точке x = l (рис. 2.6.5). В струне сотворено натяжение T.

Образование стоячей волны 5
Набросок 2.6.5. Образование стоячей волны в струне, закрепленной на обоих концах.

По струне сразу распространяются в обратных направлениях две волны одной и той же частоты:

  • y1(x, t) = A cos (ωt + kx) – волна, бегущая справа влево;
  • y2(x, t) = –A cos (ωt – kx) – волна, бегущая слева вправо.

В точке x = 0 (один из закрепленных концов струны) падающая волна y1 в итоге отражения порождает волну y2. При отражении от бездвижно закрепленного конца отраженная волна оказывается в противофазе с падающей. Согласно принципу суперпозиции

y = y1 + y2 = (–2A sin ωt) sin kx.

  Это и есть стоячая волна. В стоячей волне есть недвижные точки, которые именуются узлами. В центре меж узлами находятся точки, которые колеблются с наибольшей амплитудой. Эти точки именуются пучностями. Оба недвижных конца струны должны быть узлами. Приведенная выше формула удовлетворяет этому условию на левом конце (x = 0). Для выполнения этого условия и на правом конце (x = l), нужно чтоб kl = nπ, где n – хоть какое целое число. Это значит, что стоячая волна в струне появляется не всегда, а исключительно в том случае, если длина l струны приравнивается целому числу полуволн:

 Механические волны

  Набору значений λn длин волн соответствует набор вероятных частот fn:

 Механические волны

где  Механические волны
– скорость распространения поперечных волн по струне. Любая из частот  Механические волны
и связанный с ней тип колебания струны именуется обычной модой. Меньшая частота f1 именуется основной частотой, все другие (f2, f3, …) именуются гармониками. На рис. 2.6.5 изображена обычная мода для n = 2.  В стоячей волне нет потока энергии. Колебательная энергия, заключенная в отрезке струны меж 2-мя примыкающими узлами, не транспортируется в другие части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (два раза за период T) перевоплощение кинетической энергии в потенциальную и назад как в обыкновенной колебательной системе. Но в отличие от груза на пружине либо маятника, у каких имеется единственная собственная частота  Механические волны
струна обладает бессчетным количеством собственных (резонансных) частот fn. На рис. 2.6.6 изображены несколько типов стоячих волн в струне, закрепленной на обоих концах.

1-ые 5 обычных мод колебаний 6
Набросок 2.6.6. 1-ые 5 обычных мод колебаний струны, закрепленной на обоих концах.

В согласовании с принципом суперпозиции стоячие волны разных типов (другими словами с различными значениями n) могут сразу находиться в колебаниях струны.