Двумерное распределение Максвелла

В природе, в жизни, в технике нередко наблюдаются случайные явления. Предсказать отдельные случайные явления нельзя, потому что на их сказывается воздействие очень огромного числа не поддающихся контролю причин. К примеру, при стрельбе в цель, при измерении физических величин, при движении молекул и т.п. в той либо другой степени наблюдаются несколько частей случайности. Но, даже если можно было бы учитывать определяющие данное явление причины, то одно единичное явление ещё не охарактеризовывает общей картины случайных явлений. К примеру, одно наобум выбранное отверстие в мишени ничего не гласит нам о меткости стрелка, в то время как огромное число сделанных выстрелов дает понятие о точности стрельбы в цель. Случайные явления более много описываются с помощью математического аппарата теории вероятностей. Большая совокупа случайных явлений либо величин подчиняются статистическим законам. Статистические законы дают возможность определять возможность, с которой осуществляется то либо другое событие в серии измеряемых величин, более возможные отличия от среднего и т.п. Все эти свойства определяются законом рассредотачивания случайных величин — зависимостью вероятности возникновения данной величины от значения самой величины. Более всераспространенным в природе законом рассредотачивания случайных величин является закон обычного рассредотачивания (закон Гаусса). Это рассредотачивание имеет место в этом случае, если случайная величина находится в зависимости от огромного числа причин, которые заносят с равной вероятностью положительные и отрицательные отличия. Примером такового рассредотачивания может служить рассредотачивание случайных ошибок при изменении хоть какой физической величины. Вправду, на величину приобретенного результата измерения оказывают влияние такие причины, как непостоянность физических критерий (к примеру, температуры), при которых проводились измерения, случайные колебания прибора, разные положения глаза при отсчете показаний прибора, личные характеристики глаза наблюдающего и т.д. Ошибку каждого измерения можно разбить на более маленькие простые ошибки, вызванные разными причинами, предположив, что они имеют схожую величину и равновероятные знаки. Число измерений , давших отклонение от среднего значения измеряемой величины в границах от до , пропорционально интервалу и полному числу измерений N. Функция называется законом распределе­ния либо плотностью вероятности. Можно показать, что закон обычного рассредотачивания (закон Гаусса) имеет вид где x — отклонение измеряемой величины от ее среднего значения, у — плотность вероятности возникновения ошибки величины, h — мера точности. Вывод закона обычного рассредотачивания . Пусть в каждое измерение заходит элементарных ошибок равной величины , любая из которых с равной вероятностью может иметь положительный и отрицательный символ. Возможность того, что все , простых ошибок войдут в измерение со знаком «+», равна т.е. произведению вероятностей каждого из n событий. Результирующая ошибка в данном случае равна . Возможность такового действия, когда элементарных ошибок из имеют отрицательные знаки, а остальные (n-m) — положительные знаки, равна где — число вероятных сочетаний из n ошибок по числу отрицательных ошибок m. Величина соответственной результирующей ошибки будет равна . Представим это в виде таблицы(см. табл.1). Зависимость вероятности возникновения ошибки y от величины x представляет собой ступенчатую кривую. При уменьшении простых ошибок d при вероятности их числа n так, чтоб стремилась к конечному лимиту, ступенчатая кривая приближается к плавной. Найдем аналитическое выражение этого рассредотачивания при .

Таблица № 1

Число простых ошибок

Результирующая ошибка

Возможность возникновения таковой ошибки

положительн.

отрицат.

n

0

n-1

1

n-m

m

n-m-1

m+1

Касательная к кривой определяется пределом отношения при : потому что . Так как , то и При будем иметь, что стремится к неизменному лимиту, который обозначим , отсюда Интегрируя, получим выражение .

Рис. 1

Другим примером рассредотачивания случайных отклонений может служить стрельба в цель. Огромное число неподдающихся контролю причин (некорректность прицела, непропорциональность пули, недостатки ружья и т.п.) приводят к случайным отклонениям пули от цели. Но, в этом случае простые ошибки имеют не два равно-вероятных значения (положительное и отрицательное), а нескончаемое огромное количество значений, соответственных смещениям точки попадания по разным радиусам в плоской мишени. Повдоль хоть какого направления j , проведенного через максимум плотности попадания, закон имеет нрав обычного рассредотачивания (см. рис. 2). Если же нас интересует возможность отличия от цели на расстояние r независимо от направления, то плотность вероятности попадания надо просуммировать, по площади кольца радиусом r и шириной . В итоге одномерный закон рассредотачивания отклонений от цели приобретает вид ассиметричного максимума, смещенного относительно центра (см. рис. 3) Подобная картина наблюдается и при исследовании рассредотачивания молекул газа по скоростям — рассредотачивания Максвелла. Случайные столкновения молекул газа при их хаотическом движении приводят к случайным изменениям их скорости как по величине, так и по направлению. Если рассматривать рассредотачивание молекул по скоростям повдоль какого-либо 1-го направления, Рис. 2 Рис. 3 то огромное число случайных соударений приводит к закону обычного рассредотачивания повдоль этого направления. Если же интересоваться числом молекул , имеющих скорости в интервале от u до u+ независимо от направления, то нужно просуммировать закон обычного рассредотачивания по всем фронтам в пространстве. Тогда: Пронормировав это выражение, получим: где m — молекулярный вес; R — универсальная газовая неизменная; N — общее число молекул. Из последнего уравнения видно, что закон рассредотачивания молекул газа по скоростям отменно имеет таковой же нрав, как и при стрельбе в цель. Для ознакомления с законами рассредотачивания, подобными закону Максвелла (закону рассредотачивания молекул по скоростям), служит механическая модель, осуществляющая двумерное рассеяние частиц. Целью данной работы является исследование статистического закона рассредотачивания, , (1) в котором — возможность получения значений z в интервале, А и — неизменные. Тут экспериментальная проверка закона (1) основывается на исследовании рассредотачивания круговых отклонений зернышек. Зерно, просыпаясь через сетки, рассеивается по всем фронтам в плоскости, параллельной плоскостям сеток и образует рассредотачивание, схожее рассредотачиванию точек попадания пуль при стрельбе в мишень. Выбор не трехмерного рассредотачивания Максвелла, имеющего вид , (2) а двумерного рассредотачивания, оправдан не только лишь значимой простотой его воплощения, да и тем, что формула (1) обладает, всеми существенными особенностями формулы (2). К примеру, в обоих случаях с повышением z наблюдается возрастание функции (плотность вероятности) при малых z и её асимптотическое рвение в «О» при огромных z. При выполнении работы используются формулы (3) и , (4) которые просто получить интегрированием формулы (1), если произвести её нормировку и переписать в виде , (5) где — общее число зернышек, подвергавшихся испытанию; — число зернышек, круговые отличия которых лежат в интервале (z,z+dz); — число зернышек, отличия которых лежат в интервале ().

Описание установки

рис.4

Основной частью установки является стопка 1, составленная из 22 сеток (сит), расположенных друг над другом. Точки скрещения нитей каждой из сеток находятся над центрами квадратных ячеек её нижнего либо верхнего соседа. Параметр ячеек равен 7 мм. Через эту стопку через воронку 2 пропускается вертикальная струя зернышек пшена. В итоге рассеивания зерна попадают в разные отделения приёмника 3. Приёмник имеет вид призмы, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом в 45° при верхушке. Эта призма разбита плоскими перегородками, отстоящими друг от друга на расстоянии 2 см и параллельными её бедрам. С 3-х сторон стопка из сеток прикреплена к стенам шкафа 4 . В основании шкафа имеется гнездо 5 , в каком устанавливается приемник. Размещение гнезда согласовано с положением воронки таким макаром, что направление ребра приемника совпадает с осью воронки.

Выполнение работы. 1. На технических весах взвешивается I кг пшена. 2. Приемник с отделениями, закрытыми снизу пробками, помещается в гнездо. Запирается дверца шкафа, а пшено засыпается в воронку. 3.Из шкафа извлекается приемник, попеременно открываются его отделения и взвешиванием на технических весах инсталлируются массы: зернышек, рассеянных в углу, равном 45° в интервалах (0,2), (2,4),…,(12,14); границы интервалов даны в сантиметрах. 4. Опыт проводится более 3-х раз. Приобретенные данные записываются в таблицу.

Обработка результатов измерений

1. Потому что данный приемник составляет приблизительно 1/8 часть цилиндрического приемника, который мы не берем, то нужно массу зернышек в каждом отделении приемника помножить на 8. По приобретенным данным строится гистограмма (M,Z), схожая которой показана на рис. 5. Рис. 5

2. Найти числа и т.д.) Потому что отношение равно величине, то формула (4) переписывается в виде: По этой формуле вычисляют значения , надлежащие каждому из приобретенных значений 3. Потом рассчитывается среднее значение и среднее отклонение . 4. Если закон рассредотачивания (5), согласно которому , вправду применим к реально протекающему процессу рассеяния, то средний разброс должен быть меньше средней экспериментальной погрешности в округлении величины . Для проверки рассчитываются значения и и сравниваются меж собой.