Reklama

Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания

Колебания, совершающиеся под воздействием наружной повторяющейся силы, именуются принужденными. Наружняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, невзирая на действие сил трения.

Повторяющаяся наружняя сила может изменяться во времени по разным законам. Особенный энтузиазм представляет случай, когда наружняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, повлияет на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некой частоте ω0. Если свободные колебания происходят на частоте ω0, которая определяется параметрами системы, то установившиеся обязанные колебания всегда происходят на частоте ω наружной силы.

После начала воздействия наружной силы на колебательную систему нужно некое время Δt для установления принужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе. В исходный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – обязанные колебания на частоте ω и свободные колебания на своей частоте ω0.

Но свободные колебания затухают из-за неминуемого наличия сил трения. Потому через некое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω наружной вынуждающей силы. Разглядим в качестве примера обязанные колебания тела на пружине (рис. 2.5.1). Наружняя сила  Обязанные колебания. Резонанс. Автоколебания приложена к свободному концу пружины. Она принуждает свободный (левый на рис. 2.5.1) конец пружины передвигаться по закону

y = ym cos ωt.

где ym – амплитуда колебаний, ω – радиальная частота.  Таковой закон перемещения можно обеспечить при помощи шатунного механизма, не показанного на рис. 2.5.1.

Обязанные колебания груза на пружине. 1
Набросок 2.5.1. Обязанные колебания груза на пружине. Свободный конец пружины перемещается по закону y = ym cos ωt. l – длина недеформированной пружины, k – твердость пружины.

Если левый конец пружины сдвинут на расстояние y, а правый – на расстояние x от их начального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружины Δl равно:

Δl = x – y = x – ym cos ωt.

  2-ой закон Ньютона для тела массой m:

ma = –k(x – y) = –kx + kym cos ωt.

  В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде 2-ух слагаемых. 1-ое слагаемое в правой части – это упругая сила, стремящаяся вернуть тело в положение равновесия (x = 0). 2-ое слагаемое – наружное периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и именуют вынуждающей силой. Уравнению, выражающему 2-ой закон Ньютона для тела на пружине при наличии наружного повторяющегося воздействия, можно придать строгую математическую форму, если учитывать связь меж ускорением тела и его координатой:  Обязанные колебания. Резонанс. Автоколебания Тогда уравнение принужденных колебаний запишется в виде

 
 Обязанные колебания. Резонанс. Автоколебания
(**)

где  Обязанные колебания. Резонанс. Автоколебания – собственная радиальная частота свободных колебаний, ω – повторяющаяся частота вынуждающей силы. В случае принужденных колебаний груза на пружине (рис. 2.5.1) величина A определяется выражением:

 Обязанные колебания. Резонанс. Автоколебания

  Уравнение (**) не учитывает деяния сил трения. В отличие от уравнения свободных колебаний (*) (см. §2.2) уравнение принужденных колебаний (**) содержит две частоты – частоту ω0 свободных колебаний и частоту ω вынуждающей силы. Установившиеся обязанные колебания груза на пружине происходят на частоте наружного воздействия по закону

x(t) = xmcos (ωt + θ).

  Амплитуда принужденных колебаний xm и исходная фаза θ зависят от соотношения частот ω0 и ω и от амплитуды ym наружной силы. На очень низких частотах, когда ω << ω0, движение тела массой m, прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При всем этом x(t) = y(t), и пружина остается фактически недеформированной. Наружняя сила  Обязанные колебания. Резонанс. Автоколебания приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при ω << ω0 стремится к нулю. Если частота ω наружной силы приближается к своей частоте ω0, появляется резкое возрастание амплитуды принужденных колебаний. Это явление именуется резонансом. Зависимость амплитуды xm принужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы именуется резонансной чертой либо резонансной кривой (рис. 2.5.2).

При резонансе амплитуда xm колебания груза может во много раз превосходить амплитуду ym колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного наружным воздействием. В отсутствие трения амплитуда принужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных критериях амплитуда установившихся принужденных колебаний определяется условием: работа наружной силы в течение периода колебаний должна приравниваться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (другими словами чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда принужденных колебаний при резонансе.

У колебательных систем с не очень высочайшей добротностью (< 10) резонансная частота несколько сдвигается в сторону низких частот. Это отлично приметно на рис. 2.5.2. Явление резонанса может явиться предпосылкой разрушения мостов, построек и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой временами действующей силы, появившейся, к примеру, из-за вращения несбалансированного мотора.

Резонансные кривые 2
Набросок 2.5.2. Резонансные кривые при разных уровнях затухания: 1 – колебательная система без трения; при резонансе амплитуда xm принужденных колебаний неограниченно растет; 2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной добротностью: Q2 > Q3 > Q4. На низких частотах (ω << ω0) xm ≈ ym. На больших частотах (ω >> ω0) xm → 0.

Обязанные колебания – это незатухающие колебания. Неминуемые энергопотери на трение компенсируются подводом энергии от наружного источника временами действующей силы. Есть системы, в каких незатухающие колебания появляются не за счет повторяющегося наружного воздействия, а в итоге имеющейся у таких систем возможности самой регулировать поступление энергии от неизменного источника. Такие системы именуются автоколебательными, а процесс незатухающих колебаний в таких системах – автоколебаниями.

В автоколебательной системе можно выделить три соответствующих элемента – колебательная система, источник энергии и устройство оборотной связи меж колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть применена неважно какая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (к примеру, маятник стенных часов).

Источником энергии может служить энергия деформация пружины либо возможная энергия груза в поле тяжести. Устройство оборотной связи представляет собой некий механизм, при помощи которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 2.5.3 изображена схема взаимодействия разных частей автоколебательной системы.

Многофункциональная схема автоколебательной системы. 3
Набросок 2.5.3. Многофункциональная схема автоколебательной системы.

Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 2.5.4). Ходовое колесо с косыми зубьями агрессивно скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с 2-мя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник – балансиром – маховичком, скрепленным со спиральной пружиной.

Балансир совершает крутильные колебания вокруг собственной оси. Колебательной системой в часах является маятник либо балансир. Источником энергии – поднятая ввысь гиря либо заведенная пружина. Устройством, при помощи которого осуществляется оборотная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу оборотиться на один зубец за один полупериод.

Оборотная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некую порцию энергии, которая компенсирует энергопотери на трение. Таким макаром, возможная энергия гири (либо закрученной пружины) равномерно, отдельными порциями передается маятнику.

Механические автоколебательные системы обширно всераспространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, движки внутреннего сгорания, электронные звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре либо пении и т. д.

Часовой механизм с маятником. 4
Набросок 2.5.4. Часовой механизм с маятником.
Reklama