Reklama

Вращение твердого тела

Для кинематического описания вращения твердого тела комфортно использовать угловые величины: угловое перемещение Δφ, угловую скорость ω

 Вращение твердого тела

и угловое ускорение ε

 Вращение твердого тела

  В этих формулах углы выражаются в радианах. При вращении твердого тела относительно недвижной оси все его точки движутся с схожими угловыми скоростями и схожими угловыми ускорениями. За положительное направление вращения обычно принимают направление против часовой стрелки.

Вращение диска 1
Набросок 1.23.1. Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O.

При малых угловых перемещениях Δφ модуль вектора  Вращение твердого тела линейного перемещения некого элемента массы Δm вращающегося твердого тела выражается соотношением:

Δs = rΔφ,

где r – модуль радиус-вектора  Вращение твердого тела (рис. 1.23.1). Отсюда следует связь меж модулями линейной и угловой скоростей:

υ = rω,

и меж модулями линейного и углового ускорения:

a = aτ = rε.

  Векторы  Вращение твердого тела и  Вращение твердого тела ориентированы по касательной к окружности радиуса r. Следует вспомнить, что при движении тела по окружности появляется также обычное либо центростремительное ускорение, модуль которого есть

 Вращение твердого тела

  Разобьем крутящееся тело на малые элементы Δmi. Расстояния до оси вращения обозначим через ri, модули линейных скоростей – через υi. Тогда кинетическую энергию вращающегося тела можно записать в виде:

 Вращение твердого тела

  Физическая величина  Вращение твердого тела находится в зависимости от рассредотачивания масс вращающегося тела относительно оси вращения. Она именуется моментом инерции I тела относительно данной оси:

 Вращение твердого тела

  В пределе при Δm → 0 эта сумма перебегает в интеграл. Единица измерения момента инерции в СИ – килограмм-метр в квадрате (кг•м2). Таким макаром, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно недвижной оси, можно представить в виде

 Вращение твердого тела

  Эта формула очень похожа на выражение для кинетической энергии поступательно передвигающегося тела  Вращение твердого тела только сейчас заместо массы m в формулу заходит момент инерции I, а заместо линейной скорости υ – угловая скорость ω. Момент инерции в динамике вращательного движения играет ту же роль, что и масса тела в динамике поступательного движения. Но есть и принципная разница. Если масса – внутреннее свойство данного тела, не зависящее от его движения, то момент инерции тела находится в зависимости от того, вокруг какой оси оно крутится. Для различных осей вращения моменты инерции 1-го и такого же тела различны. В почти всех задачках рассматривается случай, когда ось вращения твердого тела проходит через его центр массы. Положение xC, yC центра тяжести для обычного варианта системы из 2-ух частиц с массами m1 и m2, расположенными в плоскости XY в точках с координатами x1, y1 и x2, y2 (рис. 1.23.2), определяется выражениями:

 Вращение твердого тела

 

Центр тяжести 2
Набросок 1.23.2. Центр тяжести C системы из 2-ух частиц.

В векторной форме это соотношение воспринимает вид:

 Вращение твердого тела

  Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор  Вращение твердого тела центра тяжести определяется выражением

 Вращение твердого тела

  Для сплошного тела суммы в выражении для  Вращение твердого тела заменяются интегралами. Просто созидать, что в однородном поле тяготения центр тяжести совпадает с центром масс. Потому положение центра тяжести тела сложной формы можно фактически найти методом поочередного подвешивания его за несколько точек и отмечая по отвесу вертикальные полосы (рис. 1.23.3).

Определение положения центра тяжести 3
Набросок 1.23.3. Определение положения центра тяжести C тела сложной формы. A1, A2, A3 точки подвеса.

Равнодействующая сил тяжести в однородном поле тяготения приложена к центру тяжести тела. Если тело подвешено за центр тяжести, то оно находится в безразличном состоянии равновесия (см. §1.14). Хоть какое движение твердого тела можно представить как сумму 2-ух движений: поступательного движения со скоростью центра тяжести тела и вращения относительно оси, проходящей через центр тяжести. Примером может служить колесо, которое катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности (рис. 1.23.4). При качении колеса все его точки движутся в плоскостях, параллельных плоскости рисунка.

Такое движение именуется плоским. При плоском движении кинетическая энергия передвигающегося твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, проходящей через центр тяжести тела и перпендикулярной плоскостям, в каких движутся все точки тела:

 Вращение твердого тела

где m – полная масса тела, IC – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести. 

Качение колеса  4
Набросок 1.23.4. Качение колеса (3) как сумма поступательного движения (1) со скоростью  Вращение твердого тела
и вращения (2) с угловой скоростью  Вращение твердого тела
относительно оси O, проходящей через центр тяжести.

В механике доказывается аксиома о движении центра тяжести: под действием наружных сил центр тяжести хоть какого тела либо системы взаимодействующих тел движется как вещественная точка, в какой сосредоточена вся масса системы. Иллюстрацией этого утверждения может служить рис. 1.23.5, на котором изображено движение тела под действием силы тяжести. Центр тяжести тела движется по параболической линии движения как вещественная точка, в то время как все другие точки движутся по более сложным траекториям.

Движение твердого тела  5
Набросок 1.23.5. Движение твердого тела под действием силы тяжести.

Если жесткое тело крутится относительно некой недвижной оси, то его момент инерции I можно выразить через момент инерции IC этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела и параллельной первой.

К подтверждению аксиомы 6
Набросок 1.23.6. К подтверждению аксиомы о параллельном переносе оси вращения.

Разглядим сечение твердого тела случайной формы, изображенное на рис. 1.23.6. Выберем координатную систему XY с началом координат O в центре тяжести C тела. Пусть одна из осей вращения проходит через центр тяжести C, а другая через произвольную точку P, расположенную на расстоянии d от начала координат. Обе оси перпендикулярны плоскости чертежа. Пусть Δmi – некий малый элемент массы твердого тела. По определению момента инерции:

 Вращение твердого тела

 

 Вращение твердого тела

  Выражение для IP можно переписать в виде:

 Вращение твердого тела

  Так как начало координат совпадает с центром тяжести C, последние два члена обращаются в нуль. Это следует из определения центра тяжести. Как следует,

IP = IC + md2,

где m – полная масса тела. Этот итог именуют аксиомой Штейнера (аксиомой о параллельном переносе оси вращения).  На рис. 1.23.7 изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Моменты инерции IC 7
Набросок 1.23.7. Моменты инерции IC неких однородных жестких тел.

2-ой закон Ньютона может быть обобщен на случай вращения твердого тела относительно недвижной оси. На рис. 1.23.8 изображено некое жесткое тело, крутящееся относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку O. Выделим случайный малый элемент массы Δmi. На него действуют наружные и внутренние силы. Равнодействующая всех сил есть  Вращение твердого тела Ее можно разложить на две составляющие: касательную составляющую  Вращение твердого тела и круговую  Вращение твердого тела Круговая составляющая делает центростремительное ускорение an.

Касательная 8
Набросок 1.23.8. Касательная  Вращение твердого тела
и круговая  Вращение твердого тела
составляющие силы  Вращение твердого тела
действующей на элемент  Вращение твердого тела
твердого тела.

Касательная составляющая  Вращение твердого тела вызывает тангенциальное ускорение  Вращение твердого тела массы  Вращение твердого тела 2-ой закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает

Δmiaiτ = Fiτ = Fi sin θ  либо  Δmiriε = Fi sin θ,

где  Вращение твердого тела – угловое ускорение всех точек твердого тела.  Если обе части написанного выше уравнения помножить на ri, то мы получим:

 Вращение твердого тела

  Тут  Вращение твердого тела – плечо силы  Вращение твердого тела,  Вращение твердого тела – момент силы. Сейчас необходимо подобные соотношения записать для всех частей массы Δmi вращающегося твердого тела, а потом просуммировать левые и правые части. Это дает:

 Вращение твердого тела

  Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на разные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех наружных сил и суммы моментов всех внутренних сил.

 Вращение твердого тела

  Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, потому в правой части остается только сумма моментов всех наружных сил, которые мы будем обозначать через M. В конечном итоге:

Iε = M.

  Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими. Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки. Вероятна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины  Вращение твердого тела,  Вращение твердого тела,  Вращение твердого тела определяются как векторы, направленные по оси вращения. При исследовании поступательного движения тел вводится понятие импульса тела  Вращение твердого тела (см. §1.16). Аналогично, при исследовании вращательного движения вводится понятие момента импульса. Моментом импульса вращающегося тела именуют физическую величину, равную произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения. Момент импульса обозначается буковкой L:

L = Iω.

  Так как  Вращение твердого тела уравнение вращательного движения можно представить в виде:

 Вращение твердого тела

  Совсем будем иметь:

 Вращение твердого тела

  Это уравнение, приобретенное тут для варианта, когда I = const, справедливо и в общем случае, когда момент инерции тела меняется в процессе движения. Если суммарный момент M наружных сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = Iω относительно данной оси сохраняется:

ΔL = 0, если M = 0.

  Как следует,

L = Iω = const.

  Это и есть закон сохранения момента импульса. Иллюстрацией этого закона может служить неупругое вращательное столкновение 2-ух дисков, насажанных на общую ось (рис. 1.23.9).

Неупругое вращательное столкновение 9
Набросок 1.23.9. Неупругое вращательное столкновение 2-ух дисков. Закон сохранения момента импульса: I1ω1 = (I1 + I2)ω.

Закон сохранения момента импульса справедлив для хоть какой замкнутой системы тел. Он производится, к примеру, при движении планет по эллиптическим орбитам вокруг Солнца (2-ой закон Кеплера – см. §1.24). Уравнение вращательного движения тела можно записывать не только лишь относительно недвижной либо умеренно передвигающейся оси, да и относительно оси, передвигающейся с ускорением. Основное уравнение динамики вращательного движения не изменяет собственного вида и в случае ускоренно передвигающихся осей при условии, что ось вращения проходит через центр массы тела и что ее направление в пространстве остается постоянным. Примером может служить качение тела (обруч, цилиндр, шар) по наклонной плоскости с трением (рис. 1.23.10).

Качение симметричного тела 10
Набросок 1.23.10. Качение симметричного тела по наклонной плоскости.

Ось вращения O проходит через центр тяжести тела. Моменты силы тяжести  Вращение твердого тела и силы реакции  Вращение твердого тела относительно оси O равны нулю. Момент M делает только сила трения: M = FтрR. Уравнение вращательного движения:

 Вращение твердого тела

где ε – угловое ускорение катящегося тела, a – линейное ускорение его центра тяжести, IC – момент инерции относительно оси O, проходящей через центр тяжести.  2-ой закон Ньютона для поступательного движения центра тяжести записывается в виде:

ma = mg sin α – Fтр.

  Исключая из этих уравнений Fтр, получим совсем:

 Вращение твердого тела

  Из этого выражения видно, что резвее будет скатываться с наклонной плоскости тело, владеющее наименьшим моментом инерции. К примеру, у шара  Вращение твердого тела а у сплошного однородного цилиндра  Вращение твердого тела Как следует, шар будет скатываться резвее цилиндра.

Reklama