Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Для того, чтоб свободные колебания совершались по гармоническому закону, нужно, чтоб сила, стремящаяся вернуть тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и ориентирована в сторону, обратную смещению (см. §2.1):

F(t) = ma(t) = –mω2x(t).

  В этом соотношении ω – радиальная частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в границах применимости закона Гука (см. §1.12):

Fупр = –kx.

  Силы хоть какой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, именуются квазиупругими. Таким макаром, груз некой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, 2-ой конец которой закреплен бездвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную совершать в отсутствие трения свободные гармонические колебания. Груз на пружине именуют линейным гармоническим осциллятором.

1

Набросок 2.2.1. Колебания груза на пружине. Трения нет.

Радиальная частота ω0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:

откуда

  Частота ω0 именуется своей частотой колебательной системы. Период T гармонических колебаний груза на пружине равен

  При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести ориентирована по траектории груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x0, равную

и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для своей частоты ω0 и периода колебаний T справедливы и в данном случае.  Серьезное описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь меж ускорением тела a и координатой x: ускорение является 2-ой производной координаты тела x по времени t:

  Потому 2-ой закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

либо

(*)

где   Все физические системы (не только лишь механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, потому что решением этого уравнения являются гармонические функции вида

x = xm cos (ωt + φ0).

  Уравнение (*) именуется уравнением свободных колебаний. Следует направить внимание на то, что физические характеристики колебательной системы определяют только свою частоту колебаний ω0 либо период T. Такие характеристики процесса колебаний, как амплитуда xm и исходная фаза φ0, определяются методом, при помощи которого система была выведена из состояния равновесия в исходный момент времени. Если, к примеру, груз был сдвинут из положения равновесия на расстояние Δl и потом в момент времени t = 0 отпущен без исходной скорости, то xm = Δl, φ0 = 0. Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, при помощи резкого толчка была сообщена исходная скорость ±υ0, то

  Таким макаром, амплитуда xm свободных колебаний и его исходная фаза φ0 определяются исходными критериями. Существует много разновидностей механических колебательных систем, в каких употребляются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре тяжести. При повороте диска на угол θ появляется момент сил Mупр упругой деформации кручения:

Mупр = –χθ.

  Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина χ подобна жесткости пружины k. 2-ой закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде (см. § 1.23)

где I = IC – момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр тяжести, ε – угловое ускорение.  По аналогии с грузом на пружине можно получить:

  Крутильный маятник обширно употребляется в механических часах. Его именуют балансиром. В балансире момент упругих сил создается при помощи спиралевидной пружинки.

2

Набросок 2.2.2. Крутильный маятник.