Reklama

Гармонические колебания

В технике и окружающем нас мире нередко приходится сталкиваться с повторяющимися (либо практически повторяющимися) процессами, которые повторяются через однообразные промежутки времени. Такие процессы именуют колебательными.

Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. К примеру, колебания тока в электронной цепи и колебания математического маятника могут описываться схожими уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.

Вместе с поступательными и вращательными движениями тел в механике значимый энтузиазм представляют и колебательные движения.

Механическими колебаниями именуют движения тел, повторяющиеся точно (либо примерно) через однообразные промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается при помощи некой повторяющейся функции времени x = f(t). Графическое изображение этой функции дает приятное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примерами обычных колебательных систем могут служить груз на пружине либо математический маятник (рис. 2.1.1).

Механические колебательные системы 1
Набросок 2.1.1. Механические колебательные системы.

Механические колебания, как и колебательные процессы хоть какой другой физической природы, могут быть свободными и принужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине либо колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием наружных временами изменяющихся сил, именуются принужденными (см. §2.5). Простым видом колебательного процесса являются обыкновенные гармонические колебания, которые описываются уравнением

x = xm cos (ωt + φ0).

  Тут x – смещение тела от положения равновесия, xm – амплитуда колебаний, другими словами наибольшее смещение от положения равновесия, ω – повторяющаяся либо радиальная частота колебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ0 именуется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ0, потому φ0 именуют исходной фазой. Малый интервал времени, через который происходит повторение движения тела, именуется периодом колебаний T. Физическая величина, оборотная периоду колебаний, именуется частотой колебаний:

 Гармонические колебания

  Частота колебаний f указывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с повторяющейся частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

 Гармонические колебания

  На рис. 2.1.2 изображены положения тела через однообразные промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить экспериментально при освещении колеблющегося тела маленькими повторяющимися вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в разные моменты времени.

Стробоскопическое изображение 2
Набросок 2.1.2. Стробоскопическое изображение гармонических колебаний. Исходная фаза φ0 = 0. Интервал времени меж поочередными положениями тела τ = T / 12.

Рис. 2.1.3 иллюстрирует конфигурации, которые происходят на графике гармонического процесса, если меняются или амплитуда колебаний xm, или период T (либо частота f), или исходная фаза φ0.

Во всех 3-х случаях для голубых кривых 3
Набросок 2.1.3. Во всех 3-х случаях для голубых кривых φ0 = 0: а – красноватая кривая отличается от голубой только большей амплитудой (x’m > xm); b – красноватая кривая отличается от голубой только значением периода (T’ = T / 2); с – красноватая кривая отличается от голубой только значением исходной фазы ( Гармонические колебания
рад).

При колебательном движении тела повдоль прямой полосы (ось OX) вектор скорости ориентирован всегда повдоль этой прямой. Скорость υ = υx движения тела определяется выражением

 Гармонические колебания

  В арифметике процедура нахождения предела дела  Гармонические колебания
при Δt → 0 именуется вычислением производной функции x(t) по времени t и обозначается как  Гармонические колебания
либо как x’(t) либо, в конце концов, как  Гармонические колебания
. Для гармонического закона движения  Гармонические колебания
вычисление производной приводит к последующему результату:

 Гармонические колебания

  Возникновение слагаемого +π / 2 в аргументе косинуса значит изменение исходной фазы. Наибольшие по модулю значения скорости υ = ωxm достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = ax тела при гармонических колебаниях:

 Гармонические колебания

как следует, ускорение a равно производной функции υ(t) по времени t, либо 2-ой производной функции x(t). Вычисления дают:

 Гармонические колебания

  Символ минус в этом выражении значит, что ускорение a(t) всегда имеет символ, обратный знаку смещения x(t), и, как следует, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, ориентирована всегда в сторону положения равновесия (x = 0). На рис. 2.1.4 приведены графики координаты, скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания.

Графики координаты 4
Набросок 2.1.4. Графики координаты x(t), скорости υ(t) и ускорения a(t) тела, совершающего гармонические колебания.
Reklama