Werbung

Законы Кеплера

В мире атомов и простых частиц гравитационные силы пренебрежимо малы по сопоставлению с другими видами силового взаимодействия меж частичками. Очень тяжело следить гравитационное взаимодействие и меж разными окружающими нас телами, даже если их массы составляют многие тыщи килограмм. Но конкретно гравитация определяет поведение «огромных» von, solche, как планетки, кометы и звезды, конкретно гравитация держит всех нас на Земле. Гравитация управляет движением планет Галлактики. Без нее планетки, составляющие Галлактику, разбежались бы в различные стороны и потерялись в безбрежных просторах мирового места. Закономерности движения планет издавна завлекали внимание людей. Исследование движения планет и строения Галлактики и привело к созданию теории гравитацииоткрытию закона глобального тяготения. Исходя из убеждений земного наблюдающего планетки движутся по очень сложным траекториям (рис. 1.24.1). 1-ая попытка сотворения модели Вселенной была предпринята Птолемеем (~ 140 г.). В центре мироздания Птолемей расположил Землю, вокруг которой по огромным и малым кругам, как в хороводе, двигались планетки и звезды.

Условное изображение наблюдаемого движения Марса на фоне недвижных звезд. 1
Набросок 1.24.1. Условное изображение наблюдаемого движения Марса на фоне недвижных звезд.

Геоцентрическая система Птолемея выдержала более 14 веков и исключительно в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника. В системе Коперника линии движения планет оказались более ординарными. Германский астролог И. Кеплер сначала XVII века на базе системы Коперника определил три эмпирических закона движения планет Галлактики. Кеплер использовал результаты наблюдений за движением планет датского астролога Т. Браге. 1-ый закон Кеплера (1609 G.): Все планетки движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планетки, масса которой много меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Наиблежайшая к Солнцу точка P линии движения именуется перигелием, точка A, более удаленная от Солнца, именуется афелием oder апогелием. Расстояние меж афелием и перигелиембольшая ось эллипса.

Эллиптическая орбита планетки массой m << M. а – длина большой полуоси, F и F' – фокусы орбиты 2
Набросок 1.24.2. Эллиптическая орбита планетки массой m<< M. und – длина большой полуоси, F и F’ – фокусы орбиты.

Практически все планетки Галлактики (не считая Плутона) движутся по орбитам, близким к радиальным. 2-ой закон Кеплера (1609 G.):  

Радиус-вектор планетки обрисовывает в равные промежутки времени равные площади.

  Рис. 1.24.3 иллюстрирует 2-ой закон Кеплера.

Закон площадей – 2-ой закон Кеплера. 3
Набросок 1.24.3. Закон площадей – 2-ой закон Кеплера.

2-ой закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса. На рис. 1.24.3 изображен вектор импульса тела  Законы Кеплера и его составляющие  Законы Кеплера und  Законы Кеплера Die Fläche, заметенная радиус-вектором за маленькое время Δt, приближенно равна площади треугольника с основанием rΔθ и высотой r:

 Законы Кеплера

  Тут  Законы Кеплераугловая скорость (см.§1.6). Момент импульса L по абсолютной величине равен произведению модулей векторов  Законы Кеплера und  Законы Кеплера

 Законы Кеплера

  Из этих отношений следует:

 Законы Кеплера

  Потому, если по второму закону Кеплера  Законы Кеплера то и момент импульса L при движении остается постоянным. А именно, так как скорости планетки в перигелии  Законы Кеплера и афелии  Законы Кеплера ориентированы перпендикулярно радиус-векторам  Законы Кеплера und  Законы Кеплера из закона сохранения момента импульса следует:

rPυP = rAυA.

  3-ий закон Кеплера (1619 G.): Квадраты периодов воззвания планет относятся как кубы огромных полуосей их орбит: 

 

 Законы Кеплера

  3-ий закон Кеплера производится для всех планет Галлактики с точностью выше 1 %. На рис. 1.24.4 изображены две орбиты, одна из которых радиальная с радиусом R, und die andere – эллиптическая с большой полуосью a. 3-ий закон утверждает, что если R = a, то периоды воззвания тел по этим орбитам схожи.

Радиальная и эллиптическая орбиты. При R = a периоды воззвания тел по этим орбитам схожи. 4
Набросок 1.24.4. Радиальная и эллиптическая орбиты. При R = a периоды воззвания тел по этим орбитам схожи.

Невзирая на то, что законы Кеплера явились важным шагом в осознании движения планет, все они же оставались только эмпирическими правилами, приобретенными из астрономических наблюдений. Законы Кеплера нуждались в теоретическом обосновании. Решающий шаг в этом направлении был изготовлен Исааком Ньютоном, открывшим в 1682 году закон глобального тяготения:

 Законы Кеплера

где M и mмассы Солнца и планетки, r – расстояние меж ними, G = 6,67·10–11 N·м2/кг2гравитационная неизменная. Ньютон 1-ый высказал идея о том, что гравитационные силы определяют не только лишь движение планет Галлактики; они действуют меж хоть какими телами Вселенной. А именно, Schwerkraft, действующая на тела поблизости поверхности Земли, имеет гравитационную природу. Для радиальных орбит 1-ый и 2-ой закон Кеплера производятся автоматом, а 3-ий закон утверждает, что T2 ~ R3, где Tпериод воззвания, R – радиус орбиты. Отсюда можно получить зависимость гравитационной силы от расстояния. При движении планетки по радиальный линии движения на нее действует центростремительная сила, которая появляется за счет гравитационного взаимодействия планетки и Солнца:

 Законы Кеплера

  Wenn  Законы Кеплера dann  Законы Кеплера Свойство консервативности гравитационных сил (см.§1.10) позволяет ввести понятие возможной энергии. Для сил глобального тяготения комфортно потенциальную энергию отсчитывать от нескончаемо удаленной точки. Возможная энергия тела массы m, находящегося на расстоянии r от недвижного тела массы M, равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность. Математическая процедура вычисления возможной энергии тела в гравитационном поле состоит в суммировании работ на малых перемещениях (рис. 1.24.5).

Вычисление возможной энергии тела в гравитационном поле. 5
Набросок 1.24.5. Вычисление возможной энергии тела в гравитационном поле.

Закон глобального тяготения применим не только лишь к точеным массам, да и к сферически симметричным телам. Die Arbeit ΔAi гравитационной силы  Законы Кеплера на малом перемещении  Законы Кеплера есть:

 Законы Кеплера

  Полная работа при перемещении тела массой m из исходного положения в бесконечность находится суммированием работ ΔAi на малых перемещениях:

 Законы Кеплера

  В пределе при Δri→ 0 эта сумма перебегает в интеграл. В итоге вычислений для возможной энергии выходит выражение

 Законы Кеплера

  Символ «минус» показывает на то, что гравитационные силы являются силами притяжения. Если тело находится в гравитационном поле на неком расстоянии r от центра тяготения и имеет некую скорость υ, его полная механическая энергия равна

 Законы Кеплера

  В согласовании с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается постоянной. Полная энергия может быть положительной и отрицательной, также приравниваться нулю. Символ полной энергии определяет нрав движения небесного тела (рис. 1.24.6). При E = E1< 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние rrmax. В данном случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планетки Галлактики, кометы).

Диаграмма энергий тела массой m в гравитационном поле, создаваемом сферически симметричным телом массой M и радиусом R. 6
Набросок 1.24.6. Диаграмма энергий тела массой m в гравитационном поле, создаваемом сферически симметричным телом массой M и радиусом R.

При E = E2 = 0 тело может удалиться на бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет равна нулю. Тело движется по параболической линии движения. При E = E3> 0 движение происходит по гиперболической линии движения. Тело удаляется на бесконечность, имея припас кинетической энергии. Законы Кеплера применимы не только лишь к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, да и к движению искусственных спутников Земли и галлактических кораблей. В данном случае центром тяготения является Земля. Первой галлактической скоростью именуется скорость движения спутника по радиальный орбите поблизости поверхности Земли.

 Законы Кеплера

  2-ой галлактической скоростью именуется малая скорость, которую необходимо сказать галлактическому кораблю у поверхности Земли, чтоб он, преодолев земное притяжение, перевоплотился в искусственный спутник Солнца (искусственная планетка). При всем этом корабль будет удаляться от Земли по параболической линии движения.

 Законы Кеплера

  Рис. 1.24.7 иллюстрирует галлактические скорости. Если скорость галлактического корабля равна υ1 = 7,9·103 м/с и ориентирована параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по радиальный орбите на маленький высоте над Землей. При исходных скоростях, превосходящих υ1, но наименьших υ2 = 11,2·103 m/s, орбита корабля будет эллиптической. При исходной скорости υ2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей исходной скоростипо гиперболе.

Галлактические скорости. Указаны скорости поблизости поверхности Земли 7
Набросок 1.24.7. Галлактические скорости. Указаны скорости поблизости поверхности Земли. 1 – υ =υ1 – радиальная линия движения; 2 – υ1 < υ < υ2 – эллиптическая линия движения; 3 – υ = 11,1·103 m/s – очень вытянутый эллипс; 4 – υ =υ2 – параболическая линия движения; 5 – υ > υ2 – гиперболическая линия движения; 6 – линия движения Луны.

 

Werbung