Werbung

Закон Био–Савара. Теорема о циркуляции

Магнитное поле неизменных токов различной конфигурации изучалось экспериментально французскими учеными Ж. Био и Ф. Саваром (1820 G.). Они сделали вывод, что индукция магнитного поля токов, текущих по проводнику, определяется совместным действием всех отдельных участков проводника. Магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции: Если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником в отдельности. Индукцию  Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции
проводника с током можно представить как векторную сумму простых индукций  Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции
создаваемых отдельными участками проводника. На опыте нереально выполнить отдельный участок проводника с током, потому что неизменные токи всегда замкнуты. Можно измерить только суммарную индукцию магнитного поля, создаваемого всеми элементами тока. Закон БиоСавара определяет вклад  Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции
в магнитную индукцию  Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции
результирующего магнитного поля, создаваемый малым участком Δl проводника с током I.

 Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции

  Тут rрасстояние от данного участка Δl до точки наблюдения, α – угол меж направлением на точку наблюдения и направлением тока на данном участке, μ0 – магнитная неизменная. Направление вектора  Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции
определяется правилом буравчика: оно совпадает с направлением вращения ручки буравчика при его поступательном перемещении повдоль тока. Рис. 4.17.1 иллюстрирует закон БиоСавара на примере магнитного поля прямолинейного проводника с током. Если просуммировать (проинтегрировать) вклады в магнитное поле всех отдельных участков прямолинейного проводника с током, то получится формула для магнитной индукции поля прямого тока:

 Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции

которая уже приводилась в § 1.16. 

Иллюстрация закона Био–Савара. 1
Набросок 4.17.1. Иллюстрация закона БиоСавара.

Закон БиоСавара позволяет рассчитывать магнитные поля токов разных конфигураций. Несложно, zum Beispiel, выполнить расчет магнитного поля в центре радиального витка с током. Этот расчет приводит к формуле

 Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции

где Rрадиус радиального проводника. Для определения направления вектора  Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции
также можно использовать правило буравчика, только сейчас его ручку необходимо крутить в направлении радиального тока, а поступательное перемещение буравчика укажет направление вектора магнитной индукции. Расчеты магнитного поля токов нередко упрощаются при учете симметрии в конфигурации токов, die Feld. В данном случае расчеты можно делать при помощи аксиомы о циркуляции вектора магнитной индукции, которая в теории магнитного поля токов играет ту же роль, dass und аксиома Гаусса в электростатике. Поясним понятие циркуляции вектора  Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции
Пусть в пространстве, где сотворено магнитное поле, избран некий условный замкнутый контур (не непременно тонкий) и обозначено положительное направление обхода контура. На каждом отдельном малом участке Δl этого контура можно найти касательную составляющую  Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции
вектора  Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции
в данном месте, другими словами найти проекцию вектора  Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции
на направление касательной к данному участку контура (рис. 4.17.2).

Замкнутый контур 2
Набросок 4.17.2. Замкнутый контур (L) с данным направлением обхода. Изображены токи I1, I2 и I3, создающие магнитное поле.

Циркуляцией вектора  Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции
именуют сумму произведений  Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции
Δl, взятую по всему контуру L:

 Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции

  Некие токи, создающие магнитное поле, могут пронизывать избранный контур L в то время, как другие токи могут находиться в стороне от контура. Аксиома о циркуляции утверждает, что циркуляция вектора  Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции
магнитного поля неизменных токов по хоть какому контуру L всегда равна произведению магнитной неизменной μ0 на сумму всех токов, пронизывающих контур:

 Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции

  В качестве примера на рис. 4.17.2 изображены несколько проводников с токами, создающими магнитное поле. Токи I2 и I3 пронизывают контур L в обратных направлениях, им должны быть приписаны различные знакиположительными числятся токи, которые связаны с избранным направлением обхода контура правилом правого винта (буравчика). Как следует, I3> 0, а I2< 0. Ток I1 не пронизывает контур L. Аксиома о циркуляции в данном примере выражается соотношением:

 Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции

  Аксиома о циркуляции в общем виде следует из закона БиоСавара и принципа суперпозиции. Простым примером внедрения аксиомы о циркуляции является определение магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током. Беря во внимание симметрию в данной задачке, контур L целенаправлено избрать в виде окружности некого радиуса R, лежащей в перпендикулярной проводнику плоскости. Центр окружности находится в некой точке проводника. В силу симметрии вектор  Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции
ориентирован по касательной ( Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции
), а его модуль схож во всех точках окружности. Применение аксиомы о циркуляции приводит к соотношению:

 Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции

откуда следует формула для модуля магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током, приведенная ранее. Этот пример указывает, что аксиома о циркуляции вектора магнитной индукции  Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции
может быть применена для расчета магнитных полей, создаваемых симметричным рассредотачиванием токов, когда из суждений симметрии можно «угадать» общую структуру поля. Имеется много фактически принципиальных примеров расчета магнитных полей при помощи аксиомы о циркуляции. Одним из таких примеров является задачка вычисления поля тороидальной катушки (рис. 4.17.3).

Применение аксиомы о циркуляции 3
Набросок 4.17.3. Применение аксиомы о циркуляции к тороидальной катушке.

Подразумевается, что катушка плотно, другими словами виток к витку, намотана на немагнитный тороидальный сердечник. В таковой катушке полосы магнитной индукции замыкаются снутри катушки и представляют собой концентрические окружности. Они ориентированы так, что смотря повдоль их, мы узрели бы ток в витках, циркулирующим по часовой стрелке. Одна из линий индукции некого радиуса r1≤ r< r2 изображена на рис. 4.17.3. Применим аксиому о циркуляции к контуру L в виде окружности, совпадающей с изображенной на рис. 4.17.3 линией индукции магнитного поля. Из суждений симметрии ясно, что модуль вектора  Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции
схож повдоль всей этой полосы. По аксиоме о циркуляции можно записать:

B • 2πr = μ0IN,

где Nполное число витков, а I – Strom, текущий по виткам катушки. Как следует,

 Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции

  Таким макаром, модуль вектора магнитной индукции в тороидальной катушке находится в зависимости от радиуса r. Если сердечник катушки узкий, другими словами r2– r1<< r, то магнитное поле снутри катушки фактически однородно. Величина n = N / 2πr представляет собой число витков на единицу длины катушки. In diesem Fall

B =μ0In.

  В это выражение не заходит радиус тора, потому оно справедливо и в предельном случае r→ ∞. Но в пределе каждую часть тороидальной катушки можно рассматривать как длинноватую прямолинейную катушку. Такие катушки именуют соленоидами. Вдалеке от торцов соленоида модуль магнитной индукции выражается этим же соотношением, что и в случае тороидальной катушки. На рис. 4.17.4 изображено магнитное поле катушки конечной длины. Следует направить внимание на то, что в центральной части катушки магнитное поле фактически однородно и существенно посильнее, чем вне катушки. На это показывает густота линий магнитной индукции. В предельном случае нескончаемо длинноватого соленоида однородное магнитное поле полностью сосредоточено снутри соленоида.

Магнитное поле катушки конечной длины. 4
Набросок 4.17.4. Магнитное поле катушки конечной длины. В центре соленоида магнитное поле фактически однородно и существенно превосходит по модулю поле вне катушки.

В случае нескончаемо длинноватого соленоида выражение для модуля магнитной индукции можно получить конкретно при помощи аксиомы о циркуляции, применив ее к прямоугольному контуру, показанному на рис. 4.17.5.

Применение аксиомы о циркуляции 5
Набросок 4.17.5. Применение аксиомы о циркуляции к расчету магнитного поля нескончаемо длинноватого соленоида.

Вектор магнитной индукции имеет хорошую от нуля проекцию на направление обхода контура abcd лишь на стороне ab. Как следует, циркуляция вектора  Закон Био–Савара. Аксиома о циркуляции
по контуру равна Bl, wo l – длина стороны ab. Число витков соленоида, пронизывающих контур abcd, равно n· l, wo n – число витков на единицу длины соленоида, а полный ток, пронизывающий контур, равен Inl. Согласно аксиоме о циркуляции,

Bl = μ0Inl,

Woher

B = μ0In.

  Это выражение совпадает с приобретенной ранее формулой для магнитного поля узкой тороидальной катушки

Werbung