Для кинематического описания вращения твердого тела комфортно использовать угловые величины: угловое перемещение Δφ, угловую скорость ω

و угловое ускорение ε

  В этих формулах углы выражаются в радианах. При вращении твердого тела относительно недвижной оси все его точки движутся с схожими угловыми скоростями и схожими угловыми ускорениями. За положительное направление вращения обычно принимают направление против часовой стрелки.

1

Набросок 1.23.1. Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O.

При малых угловых перемещениях Δφ модуль вектора линейного перемещения некого элемента массы Δm вращающегося твердого тела выражается соотношением:

Δs = rΔφ,

где r – модуль радиус-вектора (рис. 1.23.1). Отсюда следует связь меж модулями линейной и угловой скоростей:

υ = rω,

и меж модулями линейного и углового ускорения:

a = aτ = rε.

  Векторы و ориентированы по касательной к окружности радиуса r. Следует вспомнить, عندما движении тела по окружности появляется также обычное либо центростремительное ускорение, модуль которого есть

  Разобьем крутящееся тело на малые элементы Δmi. Расстояния до оси вращения обозначим через ri, модули линейных скоростей – من خلال υأنا. Тогда кинетическую энергию вращающегося тела можно записать в виде:

  Физическая величина находится в зависимости от рассредотачивания масс вращающегося тела относительно оси вращения. Она именуется моментом инерции I тела относительно данной оси:

  В пределе при Δم→ 0 эта сумма перебегает в интеграл. Единица измерения момента инерции в СИ – килограмм-метр в квадрате (кг•м2). Таким макаром, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно недвижной оси, можно представить в виде

  Эта формула очень похожа на выражение для кинетической энергии поступательно передвигающегося тела только сейчас заместо массы m в формулу заходит момент инерции I, а заместо линейной скорости υ – угловая скорость ω. Момент инерции в динамике вращательного движения играет ту же роль, что и масса тела в динамике поступательного движения. Но есть и принципная разница. Если масса – внутреннее свойство данного тела, не зависящее от его движения, то момент инерции тела находится в зависимости от того, вокруг какой оси оно крутится. Для различных осей вращения моменты инерции 1-го и такого же тела различны. В почти всех задачках рассматривается случай, когда ось вращения твердого тела проходит через его центр массы. Положение xC, yC центра тяжести для обычного варианта системы из 2-ух частиц с массами m1 и m2, расположенными в плоскости XY в точках с координатами x1, y1 и x2, y2 (рис. 1.23.2), определяется выражениями:

 

2

Набросок 1.23.2. Центр тяжести C системы из 2-ух частиц.

В векторной форме это соотношение воспринимает вид:

  وبالمثل, для системы из многих частиц радиус-вектор центра тяжести определяется выражением

  Для сплошного тела суммы в выражении для заменяются интегралами. Просто созидать, في однородном поле тяготения центр тяжести совпадает с центром масс. Потому положение центра тяжести тела сложной формы можно фактически найти методом поочередного подвешивания его за несколько точек и отмечая по отвесу вертикальные полосы (рис. 1.23.3).

3

Набросок 1.23.3. Определение положения центра тяжести C тела сложной формы. A1, A2, A3 точки подвеса.

Равнодействующая сил тяжести в однородном поле тяготения приложена к центру тяжести тела. Если тело подвешено за центр тяжести, то оно находится в безразличном состоянии равновесия (см.§1.14). Хоть какое движение твердого тела можно представить как сумму 2-ух движений: поступательного движения со скоростью центра тяжести тела и вращения относительно оси, проходящей через центр тяжести. Примером может служить колесо, которое катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности (рис. 1.23.4). При качении колеса все его точки движутся в плоскостях, параллельных плоскости рисунка.

Такое движение именуется شقة. При плоском движении кинетическая энергия передвигающегося твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, проходящей через центр тяжести тела и перпендикулярной плоскостям, в каких движутся все точки тела:

حيث m – полная масса тела, IC – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести.

4

Набросок 1.23.4. Качение колеса (3) как сумма поступательного движения (1) со скоростью и вращения (2) с угловой скоростью относительно оси O, проходящей через центр тяжести.

В механике доказывается аксиома о движении центра тяжести: под действием наружных сил центр тяжести хоть какого тела либо системы взаимодействующих тел движется как вещественная точка, в какой сосредоточена вся масса системы. Иллюстрацией этого утверждения может служить рис. 1.23.5, на котором изображено движение тела под действием силы тяжести. Центр тяжести тела движется по параболической линии движения как вещественная точка, в то время как все другие точки движутся по более сложным траекториям.

5

Набросок 1.23.5. Движение твердого тела под действием силы тяжести.

Если жесткое тело крутится относительно некой недвижной оси, то его момент инерции I можно выразить через момент инерции IC этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела и параллельной первой.

6

Набросок 1.23.6. К подтверждению аксиомы о параллельном переносе оси вращения.

Разглядим сечение твердого тела случайной формы, изображенное на рис. 1.23.6. Выберем координатную систему XY с началом координат O в центре тяжести C тела. Пусть одна из осей вращения проходит через центр тяжести C, а другая через произвольную точку P, расположенную на расстоянии d от начала координат. Обе оси перпендикулярны плоскости чертежа. هيا Δmi – некий малый элемент массы твердого тела. По определению момента инерции:

 

  Выражение для IP можно переписать в виде:

  Так как начало координат совпадает с центром тяжести C, последние два члена обращаются в нуль. Это следует из определения центра тяжести. Как следует,

IP = IC + md2,

حيث m – полная масса тела. Этот итог именуют аксиомой Штейнера (аксиомой о параллельном переносе оси вращения).  На рис. 1.23.7 изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр тяжести.

7

Набросок 1.23.7. Моменты инерции IC неких однородных жестких тел.

2-ой закон Ньютона может быть обобщен на случай вращения твердого тела относительно недвижной оси. На рис. 1.23.8 изображено некое жесткое тело, крутящееся относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку O. Выделим случайный малый элемент массы Δmi. На него действуют наружные и внутренние силы. Равнодействующая всех сил есть Ее можно разложить на две составляющие: касательную составляющую и круговую Круговая составляющая делает центростремительное ускорение an.

8

Набросок 1.23.8. Касательная и круговая составляющие силы действующей на элемент твердого тела.

Касательная составляющая вызывает тангенциальное ускорение الشامل 2-ой закон Ньютона, записанный в скалярной форме, يعطي

Δmiaiτ = Fiτ = Fi sinθ  إماΔmiriε = Fi sinθ,

حيث – угловое ускорение всех точек твердого тела. Если обе части написанного выше уравнения помножить на ri, то мы получим:

  Тут – плечо силы , – لحظة القوة. Сейчас необходимо подобные соотношения записать для всех частей массы Δmi вращающегося твердого тела, а потом просуммировать левые и правые части. Это дает:

  Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на разные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех наружных сил и суммы моментов всех внутренних сил.

  Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона صفر, потому в правой части остается только сумма моментов всех наружных сил, которые мы будем обозначать через M. В конечном итоге:

أناε = M.

  Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими. Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки. Вероятна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины , , определяются как векторы, направленные по оси вращения. При исследовании поступательного движения тел вводится понятие импульса тела (см.§1.16). وبالمثل, при исследовании вращательного движения вводится понятие момента импульса. Моментом импульса вращающегося тела именуют физическую величину, равную произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения. Момент импульса обозначается буковкой L:

L = Iω.

  كما уравнение вращательного движения можно представить в виде:

  Совсем будем иметь:

  Это уравнение, приобретенное тут для варианта, когда I = const, справедливо и в общем случае, когда момент инерции тела меняется в процессе движения. Если суммарный момент M наружных сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = Iω относительно данной оси сохраняется:

ΔL = 0, если M = 0.

  Как следует,

L = Iω = const.

  Это и есть закон сохранения момента импульса. Иллюстрацией этого закона может служить неупругое вращательное столкновение 2-ух дисков, насажанных на общую ось (рис. 1.23.9).

9

Набросок 1.23.9. Неупругое вращательное столкновение 2-ух дисков. Закон сохранения момента импульса: I1ω1 =(I1 + I2)ω.

Закон сохранения момента импульса справедлив для хоть какой замкнутой системы тел. Он производится, على سبيل المثال, при движении планет по эллиптическим орбитам вокруг Солнца (2-ой закон Кеплера – см.§1.24). Уравнение вращательного движения тела можно записывать не только лишь относительно недвижной либо умеренно передвигающейся оси, да и относительно оси, передвигающейся с ускорением. Основное уравнение динамики вращательного движения не изменяет собственного вида и в случае ускоренно передвигающихся осей при условии, что ось вращения проходит через центр массы тела и что ее направление в пространстве остается постоянным. Примером может служить качение тела (обруч, цилиндр, шар) по наклонной плоскости с трением (рис. 1.23.10).

10

Набросок 1.23.10. Качение симметричного тела по наклонной плоскости.

Ось вращения O проходит через центр тяжести тела. Моменты силы тяжести и силы реакции относительно оси O равны нулю. Момент M делает только сила трения: M = FтрR. Уравнение вращательного движения:

حيث ε – угловое ускорение катящегося тела, أ – линейное ускорение его центра тяжести, IC – момент инерции относительно оси O, проходящей через центр тяжести. 2-ой закон Ньютона для поступательного движения центра тяжести записывается в виде:

ma = mg sinα – Fтр.

  Исключая из этих уравнений Fтр, получим совсем:

  Из этого выражения видно, что резвее будет скатываться с наклонной плоскости тело, владеющее наименьшим моментом инерции. على سبيل المثال, у шара а у сплошного однородного цилиндра Как следует, шар будет скатываться резвее цилиндра.